Question

在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=BC=BB₁，D為AC的中點(diǎn)，

   （1）求證：B₁C∥平面A₁BD；

   （2）若AC₁⊥平面A₁BD，二面角B—A₁C₁—D的余弦值.

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析 （2）

解析:

（1）連結(jié)AB₁交于A₁B于點(diǎn)E，連結(jié)ED.

    ∵側(cè)面ABB₁A₁是正方形  ∴E是AB₁的中點(diǎn)

    又∵D是AC的中點(diǎn)  ∴ED∥B₁C

    ∴B₁C∥平面A₁BD………………4分

   （2）取A₁C₁的中點(diǎn)G，連結(jié)DG，則DG⊥A₁C₁

    ∵AB=BC   ∴BD⊥AC  ∴BD⊥平面A₁C₁D

    ∴BG⊥A₁C₁

    ∴∠BGD為二面角B—A₁C₁—D的平面角………………8分

    ∵AC₁⊥平面A₁BD，∴AC₁⊥BD，又∵CC₁⊥平面ABCD，且AC₁在平面ABC的射影為AC，∴AC⊥BD

    ∵AB=BC且D為AC中點(diǎn)，∴AB⊥BC   且BD=AB

    又∵DG=A₁A=AB

    ∴BG=AB    ∴……………………12分