Question

【題目】設(shè)函數(shù) .

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)，且有兩個極值點，其中，求的最小值；

（3）證明： .

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)， 在定義域上單調(diào)遞增，無遞減區(qū)間；當(dāng)時， 的遞增區(qū)間為， ，遞減區(qū)間為（2）（3）見解析

【解析】試題分析：（1）求函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，討論a的取值范圍，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．（2）求出函數(shù)g（x）的表達(dá)式，求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，令，得，其兩根為，且，所以

所以設(shè)，求導(dǎo)研究單調(diào)性求最值. （3）因為，所以要證，令，則，由（1）知易證明成立.

試題解析：

（1）的定義域為.

①當(dāng)時， 恒成立， 在定義域上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時，令得，

（Ⅰ）當(dāng)時，即時， 恒成立，

所以在定義域上單調(diào)遞增；

（Ⅱ）當(dāng)時，即時， 的兩根為或，

當(dāng)時， 單調(diào)遞增，

當(dāng)時， 單調(diào)遞減，

當(dāng)時， 單調(diào)遞增，

綜上，當(dāng)， 在定義域上單調(diào)遞增，無遞減區(qū)間；

當(dāng)時， 的遞增區(qū)間為， ，

遞減區(qū)間為

（2）的定義域為，

令，得，其兩根為，且，所以

所以

.

設(shè)，

則，

因為，

當(dāng)時，恒有，當(dāng)時，恒有，

總之， 時，恒有，所以在上單調(diào)遞減，

所以，所以.

（3）因為，

所以要證，

令，

則，

由（1）知， 時， 在 單調(diào)遞增，所以，

所以.