Question

已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S₅=3a₅-2，又a₁，a₂，a₅依次成等比數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足b₁=-9，bn+1=bn+

k

2 an+1 2

，（n∈N⁺）其中k為大于0的常數(shù)．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）記數(shù)列a_n+b_n的前n項和為T_n，若當(dāng)且僅當(dāng)n=3時，T_n取得最小值，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則S₅=5a₁+10d
∵S₅=3a₅-2=3（a₁+4d）-2=3a₁+12d-2
∴5a₁+10d=3a₁+12d-2
∴a₁=d-1
∵a₁，a₂，a₅依次成等比數(shù)列
∴a₂²=a₁a₅即（a₁+d）²=a₁（a₁+4d）
化簡得：d=2a₁
∴a₁=1，d=2
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1
∴bn+1=bn+

k

2 an+1 2

=bn+

k

2n

∴bn+1-bn=

k

2n

當(dāng)n≥2時，bn-bn-1=

k

2n-1

bn-1-bn-2=

k

2n-2

b2-b1=

k

2

∴bn-b1=

k

2n-1

+

k

2n-2

+

k

2

=k×(

2n-1-1

2-1

×

1

2n-1

)=k×

2n-1-1

2n-1

=k-

2k

2n-1

∴bn=-9+k-

2k

2n-1

當(dāng)n=1時，b₁=9滿足上式
∴bn=-9+k-

2k

2n-1

(n∈N*)
（2）∵a_n=2n-1，bn=-9+k-

k

2n-1

(n∈N*)
∴(an+1+bn+1)-(an+bn)=2+

k

2n

＞0
∴數(shù)列a_n+b_n是遞增數(shù)列
∵當(dāng)n=3時，T_n取得最小值
∴a3+b3=5+(k-9-

k

4

)=

3k

4

-4＜0a4+b4=7+(k-9-

k

8

)=

7k

8

-2＞0
解得

16

7

＜k＜

16

3

．