已知直線方程為(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0.
(1)證明:直線恒過定點;
(2)m為何值時,點Q(3,4)到直線的距離最大,最大值為多少?
(3)若直線分別與x軸,y軸的負(fù)半軸交于A.B兩點,求△AOB面積的最小值及此時直線的方程.
分析:(1)證明:利用直線是直線系求出直線恒過定點,即可;
(2)點Q(3,4)到直線的距離最大,轉(zhuǎn)化為兩點間的距離,求出距離就是最大值.
(3)若直線分別與x軸,y軸的負(fù)半軸交于A.B兩點,設(shè)出直線的方程,求出A,B,然后求出△AOB面積,利用基本不等式求出的最小值及此時直線的方程.
解答:(1)證明:直線方程為(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0,可化為(2x+y+4)+m(-x+2y+3)=0,對任意m都成立,所以
-x+2y+3=0
2x+y+4=0
,解得
x=-1
y=-2
,所以直線恒過定點(-1,-2);
(2)解:點Q(3,4)到直線的距離最大,
可知點Q與定點(-1,-2)的連線的距離就是所求最大值,
(3+1)3+(4+2)2
=2
13

(3)解:若直線分別與x軸,y軸的負(fù)半軸交于A.B兩點,直線方程為y+2=k(x+1),k<0,
則A(
2
k
-1
,0),B(0,k-2),
S△AOB=
1
2
|
2
k
-1||k-2|
=
1
2
(
2
k
-1)(k-2)
=2+(
2
-k
+
-k
2
)
≥2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)k=-2時取等號,面積的最小值為4.
此時直線的方程為2x+y+4=0.
點評:本題是基礎(chǔ)題,考查直線系過定點,零點的距離公式,基本不等式的應(yīng)用,考查計算能力,轉(zhuǎn)化思想.
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