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已知直線方程為(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0.
(Ⅰ)證明:直線恒過定點M;
(Ⅱ)若直線分別與x軸、y軸的負半軸交于A,B兩點,求△AOB面積的最小值及此時直線的方程.
分析:(Ⅰ)直線方程按m集項,方程恒成立,得到方程組,求出點的坐標,即可證明:直線恒過定點M;
(Ⅱ)若直線分別與x軸、y軸的負半軸交于A,B兩點,說明直線的斜率小于0,設出斜率根據直線過的定點,寫出直線方程,求出△AOB面積的表達式,利用基本不等式求出面積的最小值,即可得到面積最小值的直線的方程.
解答:(Ⅰ)證明:(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0化為(x-2y-3)m=-2x-y-4.(3分)
x-2y-3=0
-2x-y-4=0
x=-1
y=-2

∴直線必過定點(-1,-2).(6分)
(Ⅱ)解:設直線的斜率為k(k<0),則其方程為y+2=k(x+1),
∴OA=|
2
k
-1|,OB=|k-2|,(8分)
S△AOB=
1
2
•OA•OB=
1
2
|(
2
k
-1)(k-2)|=
1
2
|-
(k-2)2
k
|..(10分)
∵k<0,∴-k>0,
∴S△AOB=
1
2
[-
(k-2)2
k
]=
1
2
[4+(-
4
k
)+(-k)]≥4.
當且僅當-
4
k
=-k,即k=-2時取等號.(13分)
∴△AOB的面積最小值是4,(14分)
直線的方程為y+2=-2(x+1),即y+2x+4=0.(15分)
點評:本題是中檔題,考查直線恒過定點的知識,三角形面積的最小值的求法,基本不等式的應用,考查計算能力,轉化思想的應用.
練習冊系列答案
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(3)若直線分別與x軸,y軸的負半軸交于A.B兩點,求△AOB面積的最小值及此時直線的方程.

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