Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=

2

，AB=1，AD=2，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M為棱AA₁的中點(diǎn)．
（1）證明：DE⊥平面A₁AE；
（2）證明：BM∥平面A₁ED．

Answer 1

分析：（1）欲證DE⊥平面A₁AE，根據(jù)線面垂直的判定定理可知只需證AE⊥DE，A₁A⊥DE，即可；
（2）設(shè)AD的中點(diǎn)為N，連接MN、BN，由線線平行推出面面平行，再由平面BMN∥平面A₁ED，可推出BM∥平面A₁ED．

解答：證明：（1）在△AED中，AE=DE=

2

，AD=2，
∴AE⊥DE．
∵A₁A⊥平面ABCD，
∴A₁A⊥DE，
∴DE⊥平面A₁AE．
（2）設(shè)AD的中點(diǎn)為N，連接MN、BN．
在△A₁AD中，AM=MA₁，AN=ND，∴MN∥A₁D，
∵BE∥ND且BE=ND，
∴四邊形BEDN是平行四邊形，
∴BN∥ED，
∴平面BMN∥平面A₁ED，
∴BM∥平面A₁ED．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及直線與平面平行的判定，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．