當x＞0時，證明：不等式ln(1＋x)＞x－x2成立．

答案：
解析：

　　證明：設(shè)f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝x－x2，(x)＝11＋x，(x)＝1－x，F(xiàn)(x)＝f(x)－g(x)＝ln(1＋x)－(x－x2)，(x)＝(x)－(x)＝11＋x－(1－x)＝x21＋x，因此當x＞0時總有(x)＞0，∴F(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)；∴當x＞0時，F(xiàn)(x)＞F(0)＝0，即ln(1＋x)－(x－x2)＞0．∴ln(1＋x)＞x－x2．

　　思路分析：欲證x＞0時，ln(1＋x)＞x－x2，可以證F(x)＝ln(1＋x)－(x－x2)＞0易知F(0)＝0，因此可以考慮證F(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，當x＜0時f（x）＞1，且對任意的實數(shù)x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．數(shù)列{an}滿足f（an+1）=
1f(-2-an)
（n∈N*）
（Ⅰ）求f（0）的值，判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得點（t，as）、（s，at）都在直線y=kx-1上，試判斷是否存在自然數(shù)M，當n＞M時，a n＞f（0）恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在R上恒不為0的函數(shù)y=f（x），當x＞0時，滿足f（x）＞1，且對于任意的實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）f（y）．
（1）求f（0）的值； 
（2）證明f(-x)=-
1f(x)
； 
（3）證明函數(shù)y=f（x） 是R上的增函數(shù)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，當x＜0時f（x）＞1，且對任意的實數(shù)x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．數(shù)列{an}滿足f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N*)．
（Ⅰ）求f（0）的值，判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得點（t，as）、（s，at）都在直線y=kx-1上，試判斷是否存在自然數(shù)M，當n＞M時，an＞0恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）若a1=f（0），不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
＞
12
35
(1+logf(1)x)對不小于2的正整數(shù)恒成立，求x的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在實數(shù)R上的函數(shù)，g（x）是定義在正整數(shù)N*上的函數(shù)，同時滿足下列條件：
（1）任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），當x＜0時，f（x）＞1且f(-1)=
5
；
（2）g（1）=f（0），g（2）=f（-2）；
（3）f[g(n+2)]=
f[(n+3)g(n+1)]
f[(n+2)g(n)]
，n∈N*
試求：
（1）證明：任意x，y∈R，x≠y，都有
f(x)-f(y)
x-y
＜0；
（2）是否存在正整數(shù)n，使得g（n）是25的倍數(shù)，若存在，求出所有自然數(shù)n；若不存在說明理由．（階乘定義：n!=1×2×3×…×n）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
（a≠0且a≠1）．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）已知當x＞0時，函數(shù)在(0，
6
)上單調(diào)遞減，在(
6
，+∞)上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）（理）記（2）中的函數(shù)的圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由．
（文） 記（2）中的函數(shù)的圖象為曲線C，試問曲線C是否為中心對稱圖形？若是，請求出對稱中心的坐標并加以證明；若不是，請說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案