Question

已知直線(xiàn)

x

a

+

y

b

=1（θ是非零常數(shù)）與圓x²+y²=100有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么這樣的直線(xiàn)共有（　　）

• A、60條
• B、66條
• C、72條
• D、78條

Answer 1

分析：直線(xiàn)是截距式方程，因而不平行坐標(biāo)軸，不過(guò)原點(diǎn)，考查圓上橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)合排列組合知識(shí)分類(lèi)解答．

解答：解：可知直線(xiàn)的橫、縱截距都不為零，即與坐標(biāo)軸不垂直，不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，而圓x²+y²=100上的整數(shù)點(diǎn)共有12個(gè)，分別為（6，±8），（-6，±8），（8，±6），（-8，±6），（±10，0），（0，±10），前8個(gè)點(diǎn)中，過(guò)任意一點(diǎn)的圓的切線(xiàn)滿(mǎn)足，有8條；12個(gè)點(diǎn)中過(guò)任意兩點(diǎn)，構(gòu)成C₁₂²=66條直線(xiàn)，其中有4條直線(xiàn)垂直x軸，有4條直線(xiàn)垂直y軸，還有6條過(guò)原點(diǎn)（圓上點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性），故滿(mǎn)足題設(shè)的直線(xiàn)有52條．綜上可知滿(mǎn)足題設(shè)的直線(xiàn)共有52+8=60條，
故選A

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)與圓的概念，以及組合的知識(shí)，既要數(shù)形結(jié)合，又要分類(lèi)考慮，要結(jié)合圓上點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性來(lái)考慮過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的特征．是較難問(wèn)題．易錯(cuò)點(diǎn)：不能準(zhǔn)確理解題意，甚至混淆．對(duì)直線(xiàn)截距式方程認(rèn)識(shí)不明確，認(rèn)識(shí)不到三類(lèi)特殊直線(xiàn)不能用截距式方程表示；對(duì)圓上的整數(shù)點(diǎn)探索不準(zhǔn)確，或分類(lèi)不明確，都會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤，胡亂選擇．