Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a-，
（1）若x∈[，+∞），①判斷函數(shù)g（x）=f（x）-2x的單調(diào)性并加以證明；②如果f（x）≤2x恒成立，求a的取值范圍；
（2）若總存在m，n使得當(dāng)x∈[m，n]時(shí)，恰有f（x）∈[2m，2n]，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）①x∈[，+∞）時(shí)，g（x）=f（x）-2x=a-．
任取，
=．
∵，∴x₂-x₁0，x₁x₂＞0．
∴g（x₁）-g（x₂）＜0，g（x₁）＜g（x₂）．
∴g（x）在[，+∞）上單調(diào)遞減．
②f（x）≤2x?g（x）≤0，∵g（x）在[，+∞）上單調(diào)遞減，
∴，∴．
（2）∵f（x）=a-的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），∴mn＞0
若n＞m＞0，則，且在[m，n]上遞增，∴，∴．
∴m，n是的兩個(gè)根，即2x²-ax+1=0的兩個(gè)根，
∴，解得．
若m＜n＜0，則f（x）=a+，且在[m，n]上遞減，
∴，∴，相減得：mn=，代回得：a=0．
綜上所得：a的取值范圍是（）∪{0}．
分析：（1）①把f（x）的解析式代入后，直接利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明；
②由①中的單調(diào)性求出g（x）的最大值，由最大值小于等于0求解a的范圍；
（2）求出函數(shù)的定義域，然后分m，n同正和同負(fù)兩種情況分析，借助于函數(shù)的單調(diào)性的方程組，然后再轉(zhuǎn)化為方程的根進(jìn)行分析．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的定義及證明，考查了函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，在轉(zhuǎn)化過程中一定注意函數(shù)的定義域．其中蘊(yùn)涵了分類討論思想．是有一定難度題目．