Question

已知點P（x，y）滿足關(guān)于系式x²+y²-6x-4y+12=0．
求（1）

y

x

的最大值和最小值．
（2）x-y的最大值和最小值．
（3）x²+y²的最大值和最小值．
（4）若A（-1，0），B（1，0），求|PA|²+|PB|²的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）化簡方程得（x-3）²+（y-2）²=1，表示以點C（3，2）為圓心、半徑r=1的圓．設(shè)

y

x

=k即y=kx，可得直線y=kx與圓相切時斜率k取得最大值或最小值，由此利用點到直線的距離公式加以計算，可得

y

x

的最大、最小值．
（2）設(shè)x-y=b得直線y=x-b，觀察圖形可得直線y=x-b與圓切時，縱軸截距b取最大值或最小值，再利用點到直線的距離公式加以計算，可得x-y的最大值和最小值．
（3）由兩點的距離公式，得OP²=x²+y²為圓上一點P與原點距離之平方．因此作出直線OC與圓交于M、N兩點，由M、N到原點的距離分別達到最小、最大值，利用兩點之間的距離公式加以計算，可得x²+y²的最大值和最小值．
（4）設(shè)P（x，y），利用兩點的距離公式可得|PA|²+|PB|²=2（x²+y²）+2，再由（3）的結(jié)論即可算出|PA|²+|PB|²的最大值與最小值．

解答：解：（1）如圖，方程x²+y²-6x-4y+12=0化簡得（x-3）²+（y-2）²=1
表示以點C（3，2）為圓心，半徑r=1的圓．
設(shè)

y

x

=k，即y=kx，
∵圓心（3，2）到y(tǒng)=kx的距離等于半徑r時，直線y=kx與圓相切，
此時直線的斜率k取得最大值或最小值，
∴由

|3k-2|

k2+1

=1，解得k=

3± 3

4

．
所以k_max=

3+ 3

4

，k_min=

3- 3

4

，
即

y

x

的最大值為

3+ 3

4

，最小值為

3- 3

4

．
（2）設(shè)x-y=b，則y=x-b，當(dāng)且僅當(dāng)直線y=x-b與圓切時，縱軸截距b取最大值或最小值．
由點到直線的距離公式，得

|3-2-b|

1+1

=1，即b=1±

2

，
故（x-y）_max=1+

2

，（x-y）_min=1-

2

．
（3）∵OP²=x²+y²，為圓上一點P與原點距離之平方，
∴連結(jié)OC，直線OC與圓交于M、N兩點，可知M到原點的距離最小，點N到原點的距離最大，
此時有OM=

x2+y2

=

13

-1，ON=

x2+y2

=

13

+1，
∴（x²+y²）_min=|OM|²=14-2

13

，（x²+y²）_max=|ON|²=14+2

13

．
（4）設(shè)P（x，y），可得
|PA|²+|PB|²=[（x+1）²+y²]+[（x-1）²+y²]=2（x²+y²）+2，
由（3）得（x²+y²）_min=14-2

13

，（x²+y²）_max=14+2

13

，
∴（|PA|²+|PB|²）_min=2（14-2

13

）+2=30-4

13

，
（|PA|²+|PB|²）_max=2（14+2

13

）+2=30+4

13

．

點評：本題著重考查了直線的基本量與基本形式、點到直線的距離公式、坐標平面內(nèi)兩點之間的距離公式和圓的標準方程及其應(yīng)用等知識，屬于中檔題．