Question

已知點(diǎn)M是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂分別為C的左、右焦點(diǎn)，|F₁F₂|=4，∠F₁MF₂=60°，△F₁MF₂的面積為

4 3

3

（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)N（0，2），過(guò)點(diǎn)p（-1，-2）作直線l，交橢圓C異于N的A、B兩點(diǎn)，直線NA、NB的斜率分別為k₁、k₂，證明：k₁+k₂為定值．

Answer 1

分析：（I）由余弦定理可得|F1F2|2=|MF₁|²+|MF₂|²-2|MF₁||MF₂|cos60°，結(jié)合|F₁F₂|=2c=4，|MF₁|+|MF₂|=2a，求出a²，b²的值，可得橢圓C的方程；
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y+2=k（x+1），與出橢圓方程聯(lián)立后，利用韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)k₁+k₂可得定值；當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出k₁、k₂，綜合討論結(jié)果，可得結(jié)論．

解答：解：（I）在△F₁MF₂中，由

1

2

|MF₁||MF₂|sin60°=

4 3

3

，得|MF₁||MF₂|=

16

3

．
由余弦定理，得|F1F2|2=|MF₁|²+|MF₂|²-2|MF₁||MF₂|cos60°=（|MF₁|+|MF₂|）²-2|MF₁||MF₂|（1+cos60°）
又∵|F₁F₂|=2c=4，|MF₁|+|MF₂|=2a
故16=4a²-16，
解得a²=8，故b²=a²-c²=4
故橢圓C的方程為

x2

8

+

y2

4

=1
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y+2=k（x+1）
由

x2 8 + y2 4 =1 y+2=k(x+1)

，得（1+2k²）x²+4k（k-2）x+2k²-8k=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-

4k(k-2)

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-8k

1+2k2

，
從而k₁+k₂=

y1-2

x1

+

y2-2

x2

=

2kx1x2+(k-4)(x1+x2)

x1x2

=2k-（k-4）

4k(k-2)

2k2-8k

=4．                                                  11分
當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，得A（-1，

14

2

），B（-1，-

14

2

）
此時(shí)k₁+k₂=4
綜上，恒有k₁+k₂=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義、余弦定理及韋達(dá)定理的應(yīng)用．第一問(wèn)是利用三角形面積公式、余弦定理、橢圓的定義，三個(gè)方程聯(lián)立，解出a，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系求出b，本問(wèn)分析已知條件是解題的關(guān)鍵；第二問(wèn)是直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，先設(shè)出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，本題的突破口是在消參后的方程中找出兩根之和、兩根之積，整理斜率的表達(dá)式，但是在本問(wèn)中需考慮直線的斜率是否存在，此題中蘊(yùn)含了分類討論的思想的應(yīng)用．