Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，E為CD上一點(diǎn)，且DE=1，EC=2，現(xiàn)沿BE折疊使平面BCE⊥平面ABED，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)．圖2所示．

（1）求證：AE⊥平面BCE；

（2）能否在邊AB上找到一點(diǎn)P使平面ACE與平面PCF所成角的余弦值為？若存在，試確定點(diǎn)P的位置，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

　

Answer 1

解答： （1）證明：在直角梯形ABCD中易求得AB=2，AE=，BE=…（2分）

∴AE²+BE²=AB²，

故AE⊥BE，且折疊后AE與BE位置關(guān)系不變…（4分）

又∵面BCE⊥面ABED，且面BCE∩面ABED=BE，

∴AE⊥面BCE…（6分）

（2）解：∵在△BCE中，BC=CE=2，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)

∴CF⊥BE

又∵面BCE⊥面ABED，且面BCE∩面ABED=BE，

∴CF⊥面ABED，

故可以F為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

則A（，，0），C（0，0，），E（0，，0），

易求得面ACE的法向量為=（0，，1）…（8分）

假設(shè)在AB上存在一點(diǎn)P使平面ACE與平面PCF，

所成角的余弦值為，且，（λ∈R），

∵B（0，，0），

∴=（﹣，，0），

 故=（﹣λ，λ，0），

又=（，，﹣），

∴=（（1﹣λ），（2λ﹣1），﹣），

又 =（0，0，），

 設(shè)面PCF的法向量為=（x，y，z），

∴，

即，

令x=2λ﹣1得=（2λ﹣1，（λ﹣1），0）…（10分）

∴|cos＜＞|=||==，

解得 …（12分）

因此存在點(diǎn)P且P為線段AB上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)時(shí)使得平面ACE與平面PCF所成角的余弦值為．…（13分）