Question

（本小題滿分14分）
在數(shù)列與中，，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足
,為與的等比中項(xiàng)，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè).證明.

Answer 1

（Ⅰ），
（Ⅱ），
（Ⅲ）證明見(jiàn)解析.

本小題主要考查等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的概念、等比中項(xiàng)、不等式證明、數(shù)學(xué)歸納等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力和推理論證能力及分類(lèi)討論的思想方法．滿分14分


（Ⅰ）解：由題設(shè)有，，解得．由題設(shè)又有，，解得．
（Ⅱ）解法一：由題設(shè)，，，及，，進(jìn)一步可得，，，，猜想，，．
先證，．
當(dāng)時(shí)，，等式成立．當(dāng)時(shí)用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
（1當(dāng)時(shí)，，等式成立．
（2）假設(shè)時(shí)等式成立，即，．
由題設(shè)，　　
　　　　
①的兩邊分別減去②的兩邊，整理得，從而
．
這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)等式也成立．根據(jù)（1）和（2）可知，等式對(duì)任何的成立．
綜上所述，等式對(duì)任何的都成立
再用數(shù)學(xué)歸納法證明，．
（1）當(dāng)時(shí)，，等式成立．
（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即，那么
．
這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)等式也成立．根據(jù)（1）和（2）可知，等式對(duì)任何的都成立．
解法二：由題設(shè)　　
　　　　
①的兩邊分別減去②的兩邊，整理得，．所以
　　　　　　　　，
　　　　　　　　，
　　　　　　　　……
　　　　　　　　，．
將以上各式左右兩端分別相乘，得，
由（Ⅰ）并化簡(jiǎn)得，．
止式對(duì)也成立．
由題設(shè)有，所以，即，．
令，則，即．由得，．所以，即，．
解法三：由題設(shè)有，，所以
，
　　　　　　　　，
　　　　　　　　……
　　　　　　　　，．
將以上各式左右兩端分別相乘，得，化簡(jiǎn)得
，．
由（Ⅰ），上式對(duì)也成立．所以，．
上式對(duì)時(shí)也成立．
以下同解法二，可得，．
（Ⅲ）證明：．
當(dāng)，時(shí)，
．
注意到，故
　．
當(dāng)，時(shí)，
當(dāng)，時(shí)，
．
當(dāng)，時(shí)，
．
所以．
從而時(shí)，有
總之，當(dāng)時(shí)有，即．