Question

已知雙曲線過點（4，

4 7

3

），漸近線方程為y=±

4

3

x，圓C經(jīng)過雙曲線的一個頂點和一個焦點且圓心在雙曲線上，則圓心到該雙曲線的中心的距離是

16

3

．

Answer 1

分析：求出雙曲線方程，可得雙曲線的頂點、焦點，從而可得圓心坐標(biāo)，即可求圓心到該雙曲線的中心的距離．

解答：解：由題意，設(shè)雙曲線方程為

x2

9

-

y2

16

=λ
∵雙曲線過點（4，

4 7

3

），∴λ=1
∴雙曲線的方程為

x2

9

-

y2

16

=1，
∴雙曲線的頂點為（±3，0），焦點為（±5，0）．
又圓心在雙曲線上，所以圓C應(yīng)過左頂點、左焦點或右頂點、右焦點，即圓心的橫坐標(biāo)為±4，
設(shè)圓心的縱坐標(biāo)為m，則

16

9

-

m2

16

=1，
所以m²=

112

9

，
所以所求的距離為

(±4)2+ 112 9

=

16

3

．
故答案為：

16

3

．

點評：本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意點到直線的距離公式的合理運用．