精英家教網(wǎng)如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是半徑為R的圓的內接四邊形,其中BD是圓的直徑,∠ABD=60°,∠BDC=45°,PD垂直底面ABCD,PD=2
2
R
,E,F(xiàn)分別是PB,CD上的點,且
PE
EB
=
DF
FC
,過點E作BC的平行線交PC于G.
(1)求BD與平面ABP所成角θ的正弦值;
(2)證明:△EFG是直角三角形;
(3)當
PE
EB
=
1
2
時,求△EFG的面積.
分析:(1)先證明△PAB為以∠PAB為直角的直角三角形,點D到面PAB的距離為H,由VP-ABD=VD-PAB,求出H的值,R表示,計算
sinθ=
H
BD
的值.
(2)由EG∥BC,結合成比例線段,先證GF∥PD,由GF⊥BC,得 GF⊥EG,從而得到△EFG是直角三角形.
(3)根據(jù)成比例線段,求出EG和FG的值,利用△EFG的面積等于
1
2
EG•FG計算出面積.
解答:解:(1)在Rt△BAD中,∵∠ABD=60°,∴AB=R,AD=
3
R

而PD垂直底面ABCD,
PA=
PD2+AD2
=
(2
2
R)
2
+(
3
R)
2
=
11
R

PB=
PD2+BD2
=
(2
2
R)
2
+(2R)2
=2
3
R
,
在△PAB中,PA2+AB2=PB2,即△PAB為以∠PAB為直角的直角三角形.
設點D到面PAB的距離為H,由VP-ABD=VD-PAB,有PA•AB•H=AB•AD•PD,
H=
AD•PD
PA
=
3
R•2
2
R
11
R
=
2
66
11
R
,sinθ=
H
BD
=
66
11

(2)EG∥BC,∴
PE
EB
=
PG
GC
,而
PE
EB
=
DF
FC
,即
PG
GC
=
DF
FC
,
∴GF∥PD,∴GF⊥BC,∴GF⊥EG,∴△EFG是直角三角形.
(3)
PE
EB
=
1
2
EG
BC
=
PE
PB
=
1
3
GF
PD
=
CF
CD
=
2
3
,
EG=
1
3
BC=
1
3
×2R×cos45°=
2
3
R,GF=
2
3
PD=
2
3
×2
2
R=
4
2
3
R
,
∴△EFG的面積S△EFG=
1
2
EG•GF=
1
2
×
2
3
4
2
3
R=
4
9
R2
點評:本題考查線面成的角的求法,線面垂直的性質的應用,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形,∠ADC=∠DCB=90°,AD=1,BC=3,PC=CD=2,PC⊥底面ABCD,E為AB的中點.
(Ⅰ)求證:平面PDE⊥平面PAC;
(Ⅱ)求二面角C-PD-E的大;
(Ⅲ)求點B到平面PDE的距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面是一個矩形,AB=3.AD=1.又PA⊥AB,PA=4,
∠PAD=60°.求:
(1)四棱錐P-ABCD的體積.
(2)二面角P-BC-D的正切值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是半徑為R的圓的內接四邊形,其中BD是圓的直徑,∠ABD=60°,∠BDC=45°,△ADP~△BAD.
(1)求線段PD的長;
(2)若PC=
11
R
,求三棱錐P-ABC的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•煙臺一模)如圖所示,四棱錐P-ABCD中,ABCD為正方形,PA⊥AD,E,F(xiàn),G分別是線段PA,PD,CD的中點.
求證:
(1)BC∥平面EFG;
(2)平面EFG⊥平面PAB.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖所示,四棱錐P-ABCD底面是直角梯形,BA⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面ABCD,E為PC的中點,PA=AD=AB=1.
(1)證明:EB∥平面PAD;
(2)證明:BE⊥平面PDC;
(3)求三棱錐B-PDC的體積V.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案