Question

已知函數(shù)f（x）=ln（ax）+x²-ax （a為常數(shù)，a＞0）
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程；
（2）當(dāng)y=f（x）在x=處取得極值時(shí)，若關(guān)于x的方程f（x）-b=0在[0，2]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）若對(duì)任意的a∈（1，2），總存在x∈[，1]，使不等式f（x）＞m（a²+2a-3）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）a=1時(shí)求出f′（x），則切線斜率k=f′（1），求出切點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式即可求得切線方程；
（2）求導(dǎo)數(shù)f′（x），令f′（）=0可得a，利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)f（x）在[0，2]上的最小值、最大值，結(jié)合圖象可知只需滿足直線y=b與y=f（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)即可；
（3）先利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）在[，1]上的最大值f（1）=ln（）+1-a，則問題等價(jià)于對(duì)任意的a∈（1，2），不等式ln（）+1-a-m（a²+2a-3）成立，然后利用導(dǎo)數(shù)研究不等式左邊的最小值即可；
解答：解：（1）a=1時(shí)，，
∴，于是，
又f（1）=0，即切點(diǎn)為（1，0），
∴切線方程為；
（2），，即a²-a-2=0，
∵a＞0，∴a=2，
此時(shí)，，∴上遞減，上遞增，
又，
∴；
（3）f′（x）=+2x-a==，
∵1＜a＜2，∴=＜0，即，
∴f（x）在[，2]上遞增，∴f（x）_max=f（1）=ln（）+1-a，
問題等價(jià)于對(duì)任意的a∈（1，2），不等式ln（）+1-a＞m（a²+2a-3）成立，
設(shè)h（a）=ln（+a）+1-a-m（a²+2a-3）（1＜a＜2），
則h′（a）=-1-2ma-2m=，
又h（1）=0，∴h（a）在1右側(cè)需先增，∴h′（1）≥0，m≤-，
設(shè)g（a）=-2ma²-（4m+1）a-2m，對(duì)稱軸a=-1-≤1，
又-2m＞0，g（1）=-8m-1≥0，
所以在（1，2）上，g（a）＞0，即h′（a）＞0，
∴h（a）在（1，2）上單調(diào)遞增，h（a）＞h（1）=0，即ln（）+1-a＞m（a²+2a-3），
于是，對(duì)任意的a∈（1，2），總存在x∈[，1]，使不等式f（x）＞m（a²+2a-3）成立，
m．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值，考查函數(shù)恒成立問題，考查函數(shù)與方程思想、分類討論思想，綜合性強(qiáng)，難度大．