Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

5

5

，且橢圓C短軸端點到左焦點的距離為

5

（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C的左焦點F任作一條與兩坐標軸都不垂直的弦AB，若點Q在x軸上并使得QF為∠AQB的平分線，求點Q的坐標；
（3）在滿足（2）的條件下，記△AQF與△BQF的面積之比為λ，求λ的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標準方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用橢圓C短軸端點到左焦點的距離為

5

，求出a，根據(jù)橢圓的離心率e=

5

5

，求出c，根據(jù)b=

a2-c2

，求出b，即可求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線AB方程為x=ty-1代入

x2

5

+

y2

4

=1，設(shè)Q（x₀，0），由已知得

y1

x1-x0

+

y2

x2-x0

=0，利用韋達定理，即可求得點Q的坐標；
（3）由已知得λ=-

y1

y2

≠1，根據(jù)

(y1+y2)2

y1y2

=

y1

y2

+

y2

y1

+2=-λ-

1

λ

+2，利用韋達定理，即可求出λ的取值范圍．

解答： 解：（1）∵橢圓C短軸端點到左焦點的距離為

5

，
∴a=

5

，
∵橢圓的離心率e=

5

5

，
∴

c

a

=

5

5

，
∴c=1，
∴b=

a2-c2

=4，
∴橢圓C的方程為

x2

5

+

y2

4

=1                              （3分）
（2）設(shè)直線AB方程為x=ty-1代入

x2

5

+

y2

4

=1得（4t²+5）y²-8ty-16=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y1+y2=

8t

4t2+5

，y1y2=

-16

4t2+5

       （5分）
設(shè)Q（x₀，0），由已知得

y1

x1-x0

+

y2

x2-x0

=0，即x₂y₁+x₁y₂-x₀（y₁+y₂）=0（7分）
∴（ty₂-1）y₁+（ty₁-1）y₂-x₀（y₁+y₂）=0，
∴x0=

2ty1y2

y1+y2

-1    （8分）
∴x₀=-5，即Q（-5，0）（9分）
（3）由已知得λ=-

y1

y2

≠1                                       （10分）
∵

(y1+y2)2

y1y2

=

y1

y2

+

y2

y1

+2=-λ-

1

λ

+2                        （12分）
∴-λ-

1

λ

+2=

-4t2

4t2+5

⇒-λ-

1

λ

+3=

5

4t2+5

∈（0，1）（14分）
因此，

3- 5

2

＜λ＜

3+ 5

2

且λ≠1．                                （15分）

點評：本題考查橢圓的標準方程與幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．