已知過點A(4,6)的雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的一個焦點為F(4,0),直線l過點F且與雙曲線右支交于點M、N,點B為雙曲線右準線與x軸的交點.
(1)求雙曲線的方程;
(2)若△BMN的面積為36
5
,求直線l的方程;
(3)若點P為點M關(guān)于x軸的對稱點,求證:B、P、N三點共線.
分析:(1)把點A代入雙曲線方程求得a和b的關(guān)系,進而根據(jù)焦點坐標求得c,可知a和b的另一關(guān)系式,聯(lián)立求得a和b,則雙曲線的方程可得.
(2)設直線方程,與雙曲線方程聯(lián)立消去x,設出M,N的坐標,根據(jù)韋達定理表示出y1+y2和y1y2,進而根據(jù)直線l與雙曲線右支相交,
判斷出x1x2<0求得t的范圍,進而利用三角形面積公式表示出△BMN的面積求得t,則直線l的方程可得.
(3)根據(jù)點M的坐標表示出點P的坐標,進而分別表示出
BP
BN
,進而求得
BP
-
BN
=0,判斷出
BP
BN
共線,進而推斷出B,P,N三點共線.
解答:解:(1)由題意得
16
a2
-
36
b2
=1
a2+b2=16
,求得a=2,b=2
3

∴雙曲線的方程為
x2
4
-
y2
12
=1

(2)設直線的方程為x=ty+4,
x=ty+4
x2
4
-
y2
12
=1
消去x得(3t2-1)y2+24ty+36=0
設M(x1,y1),N(x2,y2
∴y1+y2=
-24t
3t2-1
,y1y2=
36
3t2-1

∵直線l與雙曲線右支相交,
∴x1x2=(ty1+4)(ty2+4)=t2
36
3t2-1
+4t•
-24t
3t2-1
+16>0
3t 2+4
3t2-1
<0,t2
1
3

∴S△BMN=
1
2
•|BF|•|y1-y2|=
18
1+t2
|3t2-1|
=36
5

∴t2=
19
45
1
4
,∵t2
1
3
,∴t=±
1
2

∴直線l的方程為2x+y-8=0或2x-y-8=0

(3)∵點P為點M關(guān)于x軸的對稱點,則p(x1,-y1),
BP
=(x1-1,-y1),
BN
=(x1,-y1),
∵(x1-1)y2-(x2-1)(-y1)=2t•
36
3t2-1
+3•
-24t
3t2-1
=0
BP
BN
共線,
∴B,P,N三點共線.
點評:本土主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題.考查了學生綜合分析問題和基本的運算能力.
練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)已知過點A(-1,0)的動直線l與圓C:x2+(y-3)2=4相交于P,Q兩點,M是PQ中點,l與直線m:x+3y+6=0相交于N.
(1)求證:當l與m垂直時,l必過圓心C;
(2)當PQ=2
3
時,求直線l的方程;
(3)探索
AM
AN
是否與直線l的傾斜角有關(guān)?若無關(guān),請求出其值;若有關(guān),請說明理由.

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AP
AQ
AM
AC

AC
AN
AM
AN

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