Question

已知在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，BC=2，AC=

15

，AA₁=3，M為線段BB₁上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)AM+MC₁最小時(shí)，△AMC₁的面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：先將直三棱柱ABC-A₁B₁C₁沿棱BB₁展開成平面連接AC₁，與BB₁的交點(diǎn)即為滿足AM+MC₁最小時(shí)的點(diǎn)M，由此可以求得△AMC₁的三邊長，再由余弦定理求出其中一角，由面積公式求出面積．

解答： 解：將直三棱柱ABC-A₁B₁C₁沿棱BB₁展開成平面連接AC₁，與BB₁的交點(diǎn)即為滿足AM+MC₁最小時(shí)的點(diǎn)M，
由于AB=1，BC=2，AA₁=3，再結(jié)合棱柱的性質(zhì)，可得BM=

1

3

AA₁=1，故B₁M=2，
∴AM=

2

，AC₁=2

6

，MC₁=2

2

，
cos∠AMC₁=

AM2+MC12-AC12

2AM•MC1

=

2+8-24

8 3

=-

3

2

，
∴sin∠AMC₁=

1

2

，
∴△AMC₁的面積

1

2

×

2

×2

2

×

1

2

=1．
故答案為1．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征、側(cè)面展開圖等知識(shí)，屬于中檔題．