【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當時,求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)當時,證明: .
【答案】(1)(2)見解析
【解析】試題分析:(Ⅰ)先代入,對求導數(shù),再算出, ,進而可得曲線在點處的切線方程;(Ⅱ)先構造函數(shù),再利用導數(shù)可得的最小值,,進而可證當時, .
試題解析:(Ⅰ)解:當時, ,
所以.
所以, .
所以曲線在點處的切線方程為.
即.
(Ⅱ)證法一:當時, .
要證明,只需證明.
以下給出三種思路證明.
思路1:設,則.
設,則,
所以函數(shù) 在上單調(diào)遞增
因為, ,
所以函數(shù)在上有唯一零點,且
因為時,所以,即
當時, ;當時,
所以當時, 取得最小值.
故.
綜上可知,當時, .
思路2:先證明 .
設,則.
因為當時, ,當時, ,
所以當時,函數(shù)單調(diào)遞減,當時,函數(shù)單調(diào)遞增.
所以.
所以(當且僅當時取等號).
所以要證明,
只需證明.
下面證明.
設,則.
當時, ,當時, ,
所以當時,函數(shù)單調(diào)遞減,當時,函數(shù)單調(diào)遞增.
所以.
所以(當且僅當時取等號).
由于取等號的條件不同,
所以.
綜上可知,當時, .
(若考生先放縮,或、同時放縮,請參考此思路給分。
思路3:先證明.
因為曲線與曲線的圖像關于直線對稱,
設直線 與曲線, 分別交于點, ,點, 到直線
的距離分別為, ,
則.
其中, .
①設 ,則.
因為,所以.
所以在上單調(diào)遞增,則.
所以.
②設 ,則.
因為當時, ;當時, ,
所以當時, 單調(diào)遞減;當時, 單調(diào)遞增.
所以.
所以.
所以.
綜上可知,當時, .
證法二:因為,
要證明,只需證明.
以下給出兩種思路證明.
思路1:設,則.
設,則.
所以函數(shù) 在上單調(diào)遞增.
因為, ,
所以函數(shù)在上有唯一零點,且.
因為,所以,即.
當時, ;當時, .
所以當時, 取得最小值.
故.
綜上可知,當時, .
思路2:先證明,且.
設,則.
因為當時, ;當時, ,
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
所以當時, 取得最小值.
所以,即(當且僅當時取等號).
由,得(當且僅當時取等號).
所以(當且僅當時取等號).
再證明.
因為, ,且與不同時取等號,
所以 .
綜上可知,當時, .
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】給出下列命題:①已知 ,“ 且 ”是“ ”的充分條件;
②已知平面向量 , 是“ ”的必要不充分條件;
③已知 ,“ ”是“ ”的充分不必要條件;
④命題 “ ,使 且 ”的否定為 “ ,都有 且 ”.其中正確命題的個數(shù)是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖是2017年第一季度五省情況圖,則下列陳述正確的是( )
①2017年第一季度 總量和增速均居同一位的省只有1個;
②與去年同期相比,2017年第一季度五個省的總量均實現(xiàn)了增長;
③去年同期的總量前三位是江蘇、山東、浙江;
④2016年同期浙江的總量也是第三位.
A. ①② B. ②③④ C. ②④ D. ①③④
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,橢圓: 的離心率是,且直線: 被橢圓截得的弦長為.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)若直線與圓: 相切:
(i)求圓的標準方程;
(ii)若直線過定點,與橢圓交于不同的兩點、,與圓交于不同的兩點、,求的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的上下兩個焦點分別為, ,過點與軸垂直的直線交橢圓于、兩點, 的面積為,橢圓的離心力為.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)已知為坐標原點,直線: 與軸交于點,與橢圓交于, 兩個不同的點,若存在實數(shù),使得,求的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的一條對稱軸為,且最高點的縱坐標是.
(1)求的最小值及此時函數(shù)的最小正周期、初相;
(2)在(1)的情況下,設,求函數(shù)在上的最大值和最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校舉辦“中國詩詞大賽”活動,某班派出甲乙兩名選手同時參加比賽. 大賽設有15個詩詞填空題,其中“唐詩”、“宋詞”和“毛澤東詩詞”各5個.每位選手從三類詩詞中各任選1個進行作答,3個全答對選手得3分,答對2個選手得2分,答對1個選手得1分,一個都沒答對選手得0分. 已知“唐詩”、“宋詞”和“毛澤東詩詞”中甲能答對的題目個數(shù)依次為5,4,3,乙能答對的題目個數(shù)依此為4,5,4,假設每人各題答對與否互不影響,甲乙兩人答對與否也互不影響.
求:(1)甲乙兩人同時得到3分的概率;
(2)甲乙兩人得分之和的分布列和數(shù)學期望.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com