Question

在（x+2y-z）⁸的展開式中，所有x的指數(shù)為2且y的指數(shù)不為1的項的系數(shù)之和為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，將（x+2y-z）⁸轉(zhuǎn)化為[x+（2y-z）]⁸，由二項式定理可得x的指數(shù)為2的項為C₈²x²（2y-z）⁶，進而可得（2y-z）⁶展開式中各項系數(shù)之和，分析可得y的指數(shù)為1的項為C₆¹（2y）（-z）⁵=-12yz⁵，進而可得（2y-z）⁶展開式中y的指數(shù)不為1的各項系數(shù)之和為13，依據(jù)分步計數(shù)原理計算可得答案．
解答：解：在（x+2y-z）⁸的展開式中，所有x的指數(shù)為2的項為C₈²x²（2y-z）⁶，
（2y-z）⁶展開式中各項系數(shù)之和為（2×1-1）⁶=1，其中y的指數(shù)為1的項為C₆¹（2y）（-z）⁵=-12yz⁵，
故（2y-z）⁶展開式中y的指數(shù)不為1的各項系數(shù)之和為13．
所以在（x+2y-z）⁸的展開式中，所有x的指數(shù)為2且y的指數(shù)不為1的項的系數(shù)之和為C₈²×13=28×13=364；
故答案為364．
點評：本題考查二項式定理的應用，解本題的關鍵在于根據(jù)題意，將（x+2y-z）⁸轉(zhuǎn)化為[x+（2y-z）]⁸，進而運用二項式定理來求解．