Question

在（x+2y-z）⁸的展開式中，所有x的指數(shù)為2且y的指數(shù)不為1的項(xiàng)的系數(shù)之和為

364

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Answer 1

分析：根據(jù)題意，將（x+2y-z）⁸轉(zhuǎn)化為[x+（2y-z）]⁸，由二項(xiàng)式定理可得x的指數(shù)為2的項(xiàng)為C₈²x²（2y-z）⁶，進(jìn)而可得（2y-z）⁶展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和，分析可得y的指數(shù)為1的項(xiàng)為C₆¹（2y）（-z）⁵=-12yz⁵，進(jìn)而可得（2y-z）⁶展開式中y的指數(shù)不為1的各項(xiàng)系數(shù)之和為13，依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．

解答：解：在（x+2y-z）⁸的展開式中，所有x的指數(shù)為2的項(xiàng)為C₈²x²（2y-z）⁶，
（2y-z）⁶展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為（2×1-1）⁶=1，其中y的指數(shù)為1的項(xiàng)為C₆¹（2y）（-z）⁵=-12yz⁵，
故（2y-z）⁶展開式中y的指數(shù)不為1的各項(xiàng)系數(shù)之和為13．
所以在（x+2y-z）⁸的展開式中，所有x的指數(shù)為2且y的指數(shù)不為1的項(xiàng)的系數(shù)之和為C₈²×13=28×13=364；
故答案為364．

點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意，將（x+2y-z）⁸轉(zhuǎn)化為[x+（2y-z）]⁸，進(jìn)而運(yùn)用二項(xiàng)式定理來求解．