Question

13．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{9}{x}$．
（1）判斷并證明f（x）在（3，+∞）上的單調(diào)性；
（2）求函數(shù)f（x）在[6，9]上的最值．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=x+$\frac{9}{x}$在（3，+∞）上遞增．由單調(diào)性的定義，注意作差、變形和定符號(hào)、下結(jié)論；
（2）由（1）可得函數(shù)f（x）在[6，9]上遞增．計(jì)算可得最值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x+$\frac{9}{x}$在（3，+∞）上遞增．
理由：設(shè)3＜m＜n，f（m）-f（n）=m+$\frac{9}{m}$-（n+$\frac{9}{n}$）
=（m-n）（1-$\frac{9}{mn}$），
由3＜m＜n，可得m-n＜0，mn＞9，即為1-$\frac{9}{mn}$＞0，
即有f（m）-f（n）＜0，即有f（x）在（3，+∞）上遞增；
（2）由（1）可得函數(shù)f（x）在[6，9]上遞增．
即有x=6處取得最小值，且為$\frac{15}{2}$；
x=9處取得最大值，且為10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，考查單調(diào)性的運(yùn)用：求最值，屬于基礎(chǔ)題．