已知函數(shù)f(x)=(x2-3x+3)ex,x∈[-2,t](t>-2)
(1)當t<1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當函數(shù)自變量的取值區(qū)間與對應函數(shù)值的取值區(qū)間相同時,這樣的區(qū)間稱為函數(shù)的保值區(qū)間.設g(x)=f(x)+(x-2)ex,試問函數(shù)g(x)在(1,+∞)上是否存在保值區(qū)間?若存在,請求出一個保值區(qū)間;若不存在,請說明理由.
考點:利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:導數(shù)的綜合應用
分析:(1)當t<1時,求函數(shù)的導數(shù),即可求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)根據(jù)保值區(qū)間的定義,結合函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)之間的關系,即可期初
解答: 解(1)當-2<t≤0時,f'(x)=ex(x2-x)≥0,此時f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[-2,t];
當0<t<1時,x∈(-2,0),f'(x)>0;x∈(0,t),f'(x)<0,此時f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[-2,0],減區(qū)間為[0,t]…(4分)
(2)函數(shù)g(x)在(1,+∞)上不存在保值區(qū)間.   …(5分)
證明如下:
假設函數(shù)g(x)存在保值區(qū)間[a,b].g(x)=(x-1)2ex,g′(x)=(x2-1)ex
因x>1時,所以g′(x)>0,g(x)為增函數(shù),所以
g(a)=(a-1)2ea=a
g(b)═(b-1)2eb=b

即方程(x-1)2ex=x有兩個大于1的相異實根.          …(7分)
設φ(x)=(x-1)2ex-x(x>1),φ′(x)=(x2-1)ex-1,φ''(x)=(x2+2x-1)ex
因x>1,φ''(x)>0,所以φ′(x)在(1,+∞)上單增,又φ′(1)=-1<0,φ′(2)=3e2-1>0,
即存在唯一的x0>1使得φ′(x0)=0…(9分)
當x∈(1,x0)時,φ′(x)<0,φ(x)為減函數(shù),當x∈(x0,+∞)時,φ′(x)>0,φ(x)為增函數(shù),
所以函數(shù)φ(x)在x0處取得極小值.又因φ(1)=-1<0,φ(2)=e2-2>0,
所以φ(x)在區(qū)間(1,+∞)上只有一個零點,…(11分)
這與方程(x-1)2ex=x有兩個大于1的相異實根矛盾.
所以假設不成立,即函數(shù)g(x)在(1,+∞)上不存在保值區(qū)間.  …(12分)
點評:本題主要考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解,利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關系,解導數(shù)不等式是解決本題的關鍵.
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3
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2
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1
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1-x
2x+5
;   
(2)y=2x-
1-2x
;
(3)y=(
1
2
)|x-1|

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