Question

15．已知函數(shù)$f（x）=sin\frac{πx}{2}（{x∈R}）$．任取t∈R，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值為M（t），最小值為m（t），記g（t）=M（t）-m（t）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及對稱軸方程；
（2）當(dāng)t∈[-2，0]時，求函數(shù)g（t）的解析式；
（3）設(shè)函數(shù)h（x）=2^|x-k|，H（x）=x|x-k|+2k-8，其中實數(shù)k為參數(shù)，且滿足關(guān)于t的不等式$\sqrt{2}k-4g（t）≤0$有解，若對任意x₁∈[4，+∞），存在x₂∈（-∞，4]，使得h（x₂）=H（x₁）成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦型函數(shù)f（x）的解析式求出它的最小正周期和對稱軸方程；
（2）分類討論$t∈[{-2，-\frac{3}{2}}）$、$t∈[{-\frac{3}{2}，-1}）$和t∈[-1，0]時，求出對應(yīng)函數(shù)g（t）的解析式；
（3）根據(jù)f（x）的最小正周期T，得出g（t）是周期函數(shù)，研究函數(shù)g（t）在一個周期內(nèi)的性質(zhì)，求出g（t）的解析式；畫出g（t）的部分圖象，求出值域，利用不等式$\sqrt{2}k-4g（t）≤0$求出k的取值范圍，再把“對任意x₁∈[4，+∞），存在x₂∈（-∞，4]，使得h（x₂）=H（x₁）成立”轉(zhuǎn)化為“H（x）在[4，+∞）的值域是h（x）在（-∞，4]的值域的子集“，從而求出k的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=sin\frac{πx}{2}（{x∈R}）$，
則f（x）的最小正周期為$T=\frac{2π}{{\frac{π}{2}}}=4$；
令$\frac{π}{2}x=kπ+\frac{π}{2}$，解得f（x）的對稱軸方程為x=2k+1（x∈Z）；
（2）①當(dāng)$t∈[{-2，-\frac{3}{2}}）$時，在區(qū)間[t，t+1]上，$M（t）=f（t）=sin\frac{πt}{2}$，
m（t）=f（-1）=-1，
∴$g（t）=M（t）-m（t）=1+sin\frac{πt}{2}$；
②當(dāng)$t∈[{-\frac{3}{2}，-1}）$時，在區(qū)間[t，t+1]上，$M（t）=f（{t+1}）=sin[{\frac{π}{2}（{t+1}）}]=cos\frac{πt}{2}$，
m（t）=f（-1）=-1，
∴$g（t）=M（t）-m（t）=1+cos\frac{πt}{2}$；
③當(dāng)t∈[-1，0]時，在區(qū)間[t，t+1]上，$M（t）=f（{t+1}）=sin[{\frac{π}{2}（{t+1}）}]=cos\frac{πt}{2}$，
$m（t）=f（t）=sin\frac{πt}{2}$，
∴$g（t）=M（t）-m（t）=cos\frac{πt}{2}-sin\frac{πt}{2}$；
∴當(dāng)t∈[-2，0]時，函數(shù)$g（t）=\left\{{\begin{array}{l}{cos\frac{πt}{2}-sin\frac{πt}{2}，t∈[{-1，0}]}\\{1+cos\frac{πt}{2}，t∈[{-\frac{3}{2}，-1}）}\\{1+sin\frac{πt}{2}，t∈[{-2，-\frac{3}{2}}）}\end{array}}\right.$；
（3）∵$f（x）=sin\frac{πx}{2}$的最小正周期T=4，
∴M（t+4）=M（t），m（t+4）=m（t），
∴g（t+4）=M（t+4）-m（t+4）=M（t）-m（t）=g（t）；
∴g（t）是周期為4的函數(shù)，研究函數(shù)g（t）的性質(zhì)，只須研究函數(shù)g（t）在t∈[-2，2]時的性質(zhì)即可；
仿照（2），可得$g（t）=\left\{{\begin{array}{l}{1+sin\frac{πt}{2}，t∈[{-2，-\frac{3}{2}}）}\\{1+cos\frac{πt}{2}，t∈[{-\frac{3}{2}，-1}）}\\{cos\frac{πt}{2}-sin\frac{πt}{2}，t∈[{-1，0}）}\\{1-sin\frac{πt}{2}，t∈[{0，\frac{1}{2}}）}\\{1-cos\frac{πt}{2}，t∈[{\frac{1}{2}，1}）}\\{sin\frac{πt}{2}-cos\frac{πt}{2}，t∈[{1，2}]}\end{array}}\right.$；
畫出函數(shù)g（t）的部分圖象，如圖所示，
∴函數(shù)g（t）的值域為$[{1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\sqrt{2}}]$；
已知$\sqrt{2}k-4g（t）≤0$有解，即$\sqrt{2}$k≤4g（t）_max=4$\sqrt{2}$，
∴k≤4；
若對任意x₁∈[4，+∞），存在x₂∈（-∞，4]，使得h（x₂）=H（x₁）成立，
即H（x）在[4，+∞）的值域是h（x）在（-∞，4]的值域的子集．
∵$h（x）={2^{|{x-k}|}}=\left\{{\begin{array}{l}{{2^{x-k}}（{x≥k}）}\\{{2^{k-x}}（{x＜k}）}\end{array}}\right.$，
當(dāng)k≤4時，∵h（x）在（-∞，k）上單調(diào)遞減，在[k，4]上單調(diào)遞增，
∴h（x）_min=h（k）=1，
∵H（x）=x|x-k|+2k-8在[4，+∞）上單調(diào)遞增，
∴H（x）_min=H（4）=8-2k，
∴8-2k≥1，即$k≤\frac{7}{2}$；
綜上，實數(shù)的取值范圍是$（{-∞，\frac{7}{2}}]$．

點評 本題考查了正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了分段函數(shù)的應(yīng)用問題，考查了函數(shù)與不等式的應(yīng)用問題，是綜合性題目．