Question

對于數列{a_n}，從第二項起，每一項與它前一項的差依次組成等比數列，稱該等比數列為數列{a_n}的“差等比數列”，記為數列{b_n}．設數列{b_n}的首項b₁=2，公比為q（q為常數）．
（I）若q=2，寫出一個數列{a_n}的前4項；
（II）（�。┡袛鄶盗衶a_n}是否為等差數列，并說明你的理由；
（ⅱ）a₁與q滿足什么條件，數列{a_n}是等比數列，并證明你的結論；
（III）若a₁=1，1＜q＜2，數列{a_n+c_n}是公差為q的等差數列（n∈N*），且c₁=q，求使得c_n＜0成立的n的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因為數列{b_n}是等比數列，且b₁=2，q=2，所以b₂=4，b₃=8，由此能夠求出一個數列{a_n}的前4項．
（Ⅱ）（ⅰ）因為b₁=2，所以．q=1時，數列{a_n}是等差數列．若q≠1時，數列{a_n}不是等差數列．
（ⅱ）因為數列{b_n}是等比數列，首項b₁=2，公比為q，所以b₂=2q，．所以a₂=a₁+2，a₃=a₁+2+2q．因為數列{a_n}是等比數列，所以，所以當q=時，數列{a_n}是等比數列．
（Ⅲ）因為{a_n+c_n}是公差為q的等差數列，所以（a_n+c_n）-（a_n-1+c_n-1）=q，由此猜想：當n≥3時，c_n＜0．再用數學歸納法證明．
解答：解：（Ⅰ）因為數列{b_n}是等比數列，且b₁=2，q=2，
所以b₂=4，b₃=8，
所以a₁=1，a₂=3，a₃=7，a₁₅=15．（寫出滿足條件的一組即可）
…（2分）
（Ⅱ）（�。┮驗閎₁=2，
所以a₂-a₁=2，a₃-a₂=2q，，…，，n≥2．
所以．
①若q=1，所以a_n-a_n-1=2，
所以數列{a_n}是等差數列．…（3分）
②若q≠1，所以，
所以a_n+1-a_n=-==2q^n-1．
因為q≠1，所以2q^n-1不是常數．
所以數列{a_n}不是等差數列．…（5分）
（ⅱ）因為數列{b_n}是等比數列，首項b₁=2，公比為q，
所以b₂=2q，．所以a₂=a₁+2，a₃=a₁+2+2q．
因為數列{a_n}是等比數列，
所以，
即（a₂+2）²=a₁•（a₁+2+2q），
所以q=．
所以當q=時，數列{a_n}是等比數列．…（7分）
（Ⅲ）因為{a_n+c_n}是公差為q的等差數列，
所以（a_n+c_n）-（a_n-1+c_n-1）=q，
又，
所以，
所以，…，c₃-c₂=q-2q，c₂-c₁=q-2，
所以）
=nq-．…（9分）
所以c₁=q＞0，c₂=2（q-1）＞0，c₃=q-2＜0，
c₄=-2（q²-q+1）=-2（q-）²-＜0，…
猜想：當n≥3時，c_n＜0．
用數學歸納法證明：
①當n=3時，c₃＜0顯然成立，
②假設當n=k（k≥3）時，c_k＜0，
那么當n=k+1時，＜q-2q^k-1=q（1-2q^k-2），
因為1＜q＜2，k≥3，
所以1-2q^k-2＜0．
所以c_n+1＜0，
所以當n=k+1時，c_n+1＜0成立．
由①、②所述，當n≥3時，恒有c_n＜0．…（14分）
點評：本題考查等差數列和等比數列的證明，綜合性強，難度大，對數學思維的要求較高，解題時要認真審題，仔細解答，注意數學歸納法的合理運用．