(2012•通州區(qū)一模)對于數(shù)列{an},從第二項起,每一項與它前一項的差依次組成等比數(shù)列,稱該等比數(shù)列為數(shù)列{an}的“差等比數(shù)列”,記為數(shù)列{bn}.設數(shù)列{bn}的首項b1=2,公比為q(q為常數(shù)).
(I)若q=2,寫出一個數(shù)列{an}的前4項;
(II)a1與q滿足什么條件,數(shù)列{an}是等比數(shù)列,并證明你的結論;
(III)若a1=1,數(shù)列{an+cn}是公差為q的等差數(shù)列,且c1=q,求數(shù)列{cn}的通項公式;并證明當1<q<2時,c5<-2q2
分析:(Ⅰ)根據(jù)數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,且b1=2,q=2,可得b2=4,b3=8,由此可求個數(shù)列{an}的前4項;
(Ⅱ)先確定a2=a1+2,a3=a1+2+2q,根據(jù)數(shù)列{an}是等比數(shù)列,即可求出公比;
(Ⅲ)先確定cn-cn-1=q-2qn-2,再利用疊加法,即可求數(shù)列{cn}的通項公式,從而可證明1<q<2時,c5<-2q2
解答:解:(Ⅰ)因為數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,且b1=2,q=2,所以b2=4,b3=8,
所以a1=1,a2=3,a3=1,a15=15.(寫出滿足條件的一組即可)…(2分)
(Ⅱ)因為數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,首項b1=2,公比為q,,所以b2=2q,b3=2q2,
所以a2=a1+2,a3=a1+2+2q.
因為數(shù)列{an}是等比數(shù)列,
所以a22=a1a3,即(a1+2)2=a1×(a1+2+2q)
所以q=
a1+2
a1

所以當q=
a1+2
a1
時,數(shù)列{an}是等比數(shù)列.…(5分)
(Ⅲ)因為{an+cn}是公差為q的等差數(shù)列,所以(an+cn)-(an-1+cn-1)=q
∵an-an-1=2qn-2,
∴cn-cn-1=q-2qn-2,
∴cn=c1+(c2-c1)+…+(cn-cn-1)=nq-2(qn-2+2qn-3+…+q+1)=nq-
2(1-qn-1)
1-q

∴c5=5q-
2(1-q4)
1-q
=-2q3-2q2+3q-2
∴c5-(-2q2)=2q(1-q2)+(q-2).
∵1<q<2,∴1-q2<0,q-2<0.
∴c5-(-2q2)<0
∴c5<-2q2.                        …(13分)
點評:本題考查新定義,考查等比數(shù)列的證明,考查疊加法求數(shù)列的和,正確理解新定義是關鍵.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•通州區(qū)一模)某汽車銷售公司在A,B兩地銷售同一種品牌車,在A地的銷售利潤(單位:萬元)是y1=4.1x-0.1x2,在B地的銷售利潤(單位:萬元)是y2=2x,其中x為銷售量(單位:輛).若該公司在這兩地共銷售16輛這種品牌車,則能獲得的最大利潤是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•通州區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)=lnx-x2
(I)求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間;
(II)求函數(shù)f(x)在(0,a](a>0)上的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•通州區(qū)一模)下列函數(shù)中,函數(shù)圖象關于y軸對稱,且在(0,+∞)上單調遞增的是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•通州區(qū)一模)復數(shù)z=
1+i
1-i
等于(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•通州區(qū)一模)如圖,程序框圖所進行的求和運算是(  )

查看答案和解析>>

同步練習冊答案