Question

設(shè)x∈R，函數(shù)f（x）=cos²（ωx+φ）-

1

2

，（ω＞0，0＜φ＜

π

2

）．已知f（x）的最小正周期為π，且f（

π

8

）=

1

4

．
（1）求ω和φ的值；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

24

，

7π

24

]上的最小值和最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由條件利用三角恒等變換求得f（x）=

1

2

cos（2ωx+2φ），根據(jù)f（x）的最小正周期為π求得ω=1．由f(

π

8

)=

1

4

，可得cos（2φ+

π

4

）=

1

2

，結(jié)合0＜φ＜

π

2

可得φ的值．
（2）由（1）知f(x)=

1

2

cos(2x+

π

12

)，令2kπ-π≤2x+

π

12

≤2kπ時(shí)，求得x的范圍，可得f（x）的遞增區(qū)間．
（3）根據(jù)x∈[

π

24

，

7π

24

]．利用余弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)f（x）的最小值．

解答： 解：（1）∵f(x)=cos2(ωx+ϕ)-

1

2

=

1

2

[1+cos(2ωx+2φ)]-

1

2

=

1

2

cos(2ωx+2ϕ)，
f（x）的最小正周期為π=

2π

2ω

，求得ω=1．
∵f(

π

8

)=

1

4

，可得cos（2φ+

π

4

）=

1

2

，結(jié)合0＜φ＜

π

2

可得 2φ+

π

4

∈（

π

4

，

5π

4

），
∴2φ+

π

4

=

π

3

，φ=

π

24

．
（2）由（1）知f(x)=

1

2

cos(2x+

π

12

)，
∴當(dāng)2kπ-π≤2x+

π

12

≤2kπ時(shí)，即kπ-

13

24

π≤x≤kπ-

π

24

(k∈Z)時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-

13

24

π，kπ-

π

24

](k∈Z)．
（3）∵x∈[

π

24

，

7π

24

]∴2x+

π

12

∈[

π

6

，

2π

3

]，故當(dāng)2x+

π

12

=

2π

3

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為

1

2

×(-

1

2

)=-

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角恒等變換，余弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性，余弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．