Question

如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，.

（1）求證：平面

（2）若求與所成角的余弦值；

 

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

試題分析：證明線(xiàn)面垂直的方法：一是線(xiàn)面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性質(zhì)定理；三是平行線(xiàn)法（若兩條平行線(xiàn)中的一條垂直于這個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.解題時(shí)，注意線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化. 過(guò)空間任意一點(diǎn)引兩條直線(xiàn)分別平行于兩條異面直線(xiàn)，它們所成的銳角（或直角）就是異面直線(xiàn)所成的角。 （注：當(dāng)所成角為90°時(shí)，兩直線(xiàn)垂直。）求兩條異面直線(xiàn)所成角的大小一般方法是通過(guò)平行移動(dòng)直線(xiàn)，把異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面問(wèn)題來(lái)解決。 異面直線(xiàn)所成角的步驟一般是①平移其中一條或兩條使其相交。②連接端點(diǎn)，使角在一個(gè)三角形中。③計(jì)算三條邊長(zhǎng)，用余弦定理計(jì)算余弦值。④若余弦值為負(fù)，則取其相反數(shù)。

試題解析：證明：∵ABCD是菱形∴

∵PA平面ABCD，BD平面ABCD，∴PABD

PAAC=A，PA平面PAC，AC平面PAC

∴BD平面PAC

（2）延長(zhǎng)DA到E，使AE=DA，連接BE，PE，則AEBC

∴四邊形AEBC為平行四邊形

∴BE//AC，

∴BE與BP所成的角就是兩異面直線(xiàn)所成的角即

在中， PA=2,AE=2,PAAE,∴PE=,BE=AC=,PB=

∴

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面垂直的判斷及異面直線(xiàn)所成的角