Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=BC=2AC=2，D為AA₁中點．
（Ⅰ）求證：CD⊥B₁C₁；
（Ⅱ）求證：平面B₁CD⊥平面B₁C₁D；
（Ⅲ）求三棱錐C₁-B₁CD的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）關(guān)鍵是證明B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，利用直三棱柱的性質(zhì)及底面是直角三角形易證之．
（Ⅱ）用勾股定理證明CD⊥DC₁，又由（Ⅰ）知B₁C₁⊥CD，所以有CD⊥平面B₁C₁D，從而證明面面垂直．
（Ⅲ）等體積法，V_C1-DCB₁=V_B1-DCC₁   ，進行求解．

解答：證明：（Ⅰ）∵∠A₁C₁B₁=∠ACB=90°
∴B₁C₁⊥A₁C₁
又由直三棱柱性質(zhì)知B₁C₁⊥CC₁（2分）
∴B₁C₁⊥平面ACC₁A₁又CD?平面ACC₁A₁
∴B₁C₁⊥CD（4分）

（Ⅱ）由AA₁=BC=2AC=2，D為AA₁中點，
可知DC=DC1=

2

，
∴DC²+DC₁²=CC₁²=4即CD⊥DC₁（6分）
又B₁C₁⊥CD∴CD⊥平面B₁C₁D
又CD?平面B₁CD
故平面B₁CD⊥平面B₁C₁D（9分）
（Ⅲ）解：V_C1-DCB₁=V_B1-DCC₁
=

1

3

•S△DCC1•B1C1
=

1

3

×

1

2

×2×1×2
=

2

3

．（12分）

點評：通過證明線面垂直達到證明線線垂直的目的，通過證明一個平面內(nèi)存在一條直線和另一個平面垂直，從而證明面面垂直，用等體積法求三棱錐的體積，是常用的一種方法．