設(shè)y＝f(x)是定義在區(qū)間[－1，1]上的函數(shù)，且滿足條件：(1)f(－1)＝f(1)＝0；(2)對任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤|u－v|．

(Ⅰ)證明：對任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f(x)≤1－x；

(Ⅱ)證明：對任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤1；

(Ⅲ)在區(qū)間[－1，1]上是否存在滿足題設(shè)條件的奇函數(shù)y＝f(x)，且使得若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)證明：由題設(shè)條件可知，當x∈[－1，1]時，有|f(x)|＝|f(x)－f(1)|≤|x－1|＝1－x，

　　即x－1≤f(x)≤1－x．

　　(Ⅱ)證明：對任意的u，v∈[－1，1]，

　　當|u－v|≤1時，有|f(u)－f(v)|≤|u－v|≤1．

　　當|u－v|＞1時，u·v＜0，不妨設(shè)u＜0，則v＞0且v－u＞1．

　　所以|f(u)－f(v)|≤|f(u)－f(1)|＋|f(v)－f(1)|≤|u＋1|＋|v－1|＝1＋u＋1－v＝2－(v－u)＜1．

　　綜上可知，對任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤1．

　　(Ⅲ)解：滿足所述條件的函數(shù)不存在，理由如下：

　　假設(shè)存在函數(shù)f(x)滿足條件，則由

　　|f(u)－f(v)|＝|u－v|，u，v∈[，1]得

　　|f()－f(1)|＝|－1|＝．

　　又f(1)＝0，所以|f()|＝．　�、�

　　又因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(0)＝0．由條件|f(u)－f(v)|＜|u－v|，u，v∈[0，]得

　　|f()|＝|f()－f(0)|＜．　　②

　�、倥c②矛盾，所以假設(shè)不成立，即這樣的函數(shù)不存在．


練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：中學(xué)教材標準學(xué)案　數(shù)學(xué)　高二上冊 題型：044

設(shè)y＝f(x)是定義在區(qū)間[－1，1]上的函數(shù)，且滿足條件：

①f(－1)＝f(1)＝0；

②對任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤|u－v|．

(1)證明：對任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f(x)≤1－x；

(2)判斷函數(shù)g(x)＝是否滿足題設(shè)條件；

(3)在區(qū)間[－1，1]上是否存在滿足題設(shè)條件的函數(shù)y＝f(x)，且使得對任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|＝|u－v|．

若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：設(shè)計選修數(shù)學(xué)－1-2蘇教版 蘇教版 題型：044

(精典回放)設(shè)y＝f(x)是定義在區(qū)間[－1，1]上的函數(shù)，且滿足條件：①f(－1)＝f(1)＝0；②對任意的μ、v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤|μ－v|

(1)證明：對任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f(x)≤1－x；

(2)證明：對任意的μ、v∈[－1，1]，都有

|f(u)－f(v)|≤1；

(3)在區(qū)間[－1，1]上是否存在滿足題設(shè)條件的奇函數(shù)y＝f(x)，且使得：

|f(μ)－f(v)|＜|μ－v|，當μ、v∈[0，]．

|f(μ)－f(v)|＜|μ－v|，當μ、v∈[，1]．

若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：泰州市2006～2007學(xué)年度第一學(xué)期期末聯(lián)考高3數(shù)學(xué)試題 題型：022

設(shè)y＝f(x)是定義在R上的函數(shù)，給定下列三個條件：(1)y＝f(x)是偶函數(shù)；(2)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱；(3)T＝2為y＝f(x)的一個周期．如果將上面(1)、(2)、(3)中的任意兩個作為條件，余下一個作為結(jié)論，那么構(gòu)成的三個命題中真命題的個數(shù)有________個．

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設(shè)y＝f(x)是定義在R上的函數(shù)，如果存在A點，對函數(shù)y＝f(x)的圖像上任意點P，P關(guān)于點A的對稱點Q也在函數(shù)y＝f(x)的圖像上，則稱函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點A對稱，A稱為函數(shù)f(x)的一個對稱點．對于定義在R上的函數(shù)f(x)，可以證明點A(a，b)是f(x)圖像的一個對稱點的充要條件是f(a－x)＋f(a＋x)＝2b，x∈R．

(1)求函數(shù)f(x)＝x3＋3x2圖像的一個對稱點；

(2)函數(shù)

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設(shè)y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于x＝1對稱，對任意的，都有，且f(1)＝a＞0

(1)求；

(2)證明：y＝f(x)是周期函數(shù)．

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