Question

19．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且x₁，x₂∈[0，+∞）時，有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，若實數(shù)a滿足f（log₂a）+f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$a）≤2f（1），則a的取值范圍（　　）

• A． [1，2]
• B． （0，$\frac{1}{2}$]
• C． [$\frac{1}{2}$，2]
• D． （0，2]

Answer 1

分析 由題意可得，函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡所給的不等式可得 log₂a≤1，由此求得a的范圍．

解答 解：由題意可得，函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，f（log₂a）+f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$a）≤2f（1），
即f（log₂a）+f（${log}_{2}\frac{1}{a}$）≤2f（1），即 f（log₂a）+f（-log₂a）≤2f（1），
即2f（log₂a）≤2f（1），即 f（log₂a）≤f（1），∴-1≤log₂a≤1，∴$\frac{1}{2}$≤a≤2，
故選：C．

點評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．