Question

某投資公司投資甲、乙兩個項目所獲得的利潤分別是P（億元）和Q（億元），它們與投資額t（億元）的關系有經驗公式P=

1

6

3t

，Q=

1

8

t．今該公司將5億元投資這兩個項目，其中對甲項目投資x（億元），投資這兩個項目所獲得的總利潤為y（億元）．求：
（1）y關于x的函數(shù)表達式；
（2）總利潤的最大值．

Answer 1

分析：（1）設甲項目投資x億元，則乙項目投資

1

8

（5-x）億元，這兩個項目所獲得的總利潤為y=M（億元）+N（億元），由經驗公式建立總利潤關于資金為x的函數(shù)關系；
（2）用換元法，設令t=

3x

，t∈[0，

15

]，則x=

t2

3

，利用換元法轉換為二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題，從而求出y的最大值．

解答：解：（1）根據題意，得y=

1

6

3x

+

1

8

（5-x），…（6分）
x∈[0，5]． …（8分）
（注：定義域寫成（0，5）不扣分）
（2）令t=

3x

，t∈[0，

15

]，則x=

t2

3

，
y=-

t2

24

+

1

6

t+

5

8

=-

1

24

（t-2）²+

19

24

．…（12分）
因為2∈[0，

15

]，所以當

3x

=2時，即x=

4

3

時，y_最大值=

19

24

．…（14分）
答：總利潤的最大值是

19

24

億元． …（15分）

點評：利潤最大的問題，根據題意列出符號條件的函數(shù)關系式，選擇合適的方法求最值即可，本題用換元法得到一元二次函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的性質求其最大值，是基礎題．