Question

已知函數(shù)

（1）若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.

（2）若且關(guān)于的方程在上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)各項(xiàng)為正的數(shù)列滿(mǎn)足：求證：

 

Answer 1

【答案】

（1）；  （2）  ；   （3）

【解析】

試題分析：（I）依題意，對(duì)任意的恒成立，即在x1恒成立．則a.

而0，所以，在是減函數(shù)，最大值為1，所以，，實(shí)數(shù)的最小值。

（II）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013062411425187897020/SYS201306241143454122656658_DA.files/image014.png">，且在上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

即在上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

設(shè)g（x）=，則g'（x）=

列表：

X	(0,)		(,2)	2	(2,4)
	+	0	-	0	+
	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

所以，g（x）極大值=g（）=-ln2-b，g（x）極大值=g（2）=ln2-b-2，，g（4）=2ln2-b-1

因?yàn)椋�方程g（x）=0在[1，4]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

則，解得．

（III）設(shè)h（x）=lnx-x+1，x∈[1，+∞），則h'（x）=-1≤0

∴h（x）在[1，+∞）為減函數(shù)，且h（x）_max=h（1）=0，故當(dāng)x≥1時(shí)有l(wèi)nx≤x-1．

∵a₁=1，假設(shè)a_k≥1（k∈N^*），則a_k+1=lna_k+a_k+2＞1，故a_n≥1（n∈N^*）

從而a_n+1=lna_n+a_n+2≤2a_n+1∴1+a_n+1≤2（1+a_n）≤…≤2ⁿ（1+a₁）

即1+a_n≤2ⁿ，∴an≤2ⁿ-1

考點(diǎn)：本題主要考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極（最）值，研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)列不等式的證明。

點(diǎn)評(píng)：難題，不等式恒成立問(wèn)題，常常轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問(wèn)題。（II）（III）兩小題，均是通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值），認(rèn)識(shí)函數(shù)圖象的變化形態(tài)等，尋求得到解題途徑。有一定技巧性，對(duì)學(xué)生要求較高。