Question

4．已知實數(shù)x，y滿足3x²+2y²=1，求：
（1）x²+y²的取值范圍；
（2）xy的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）可以首先將所給曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后，借助于橢圓的范圍，利用函數(shù)的知識求解；
（2）可以直接設(shè)橢圓的參數(shù)方程，然后，結(jié)合三角函數(shù)的最值求解其范圍．

解答 解：（1）由已知，得
$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{3}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}=1$，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤x≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵3x²+2y²=1，
∴${y}^{2}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}{x}^{2}$，
∴x²+y²=$\frac{1}{2}$（1-x²），
∵-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤x≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴0≤x²$≤\frac{1}{3}$，
∴x²+y²的最大值為$\frac{1}{2}$，最小值為$\frac{1}{3}$．
∴x²+y²的取值范圍為[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]．
（2）根據(jù)（1）設(shè)曲線的參數(shù)方程為：
$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{3}cosθ}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}sinθ}\end{array}\right.$，
∴xy=$\frac{\sqrt{6}}{6}$sinθcosθ=$\frac{\sqrt{6}}{12}$sin2θ，
∴xy∈[-$\frac{\sqrt{6}}{12}$，$\frac{\sqrt{6}}{12}$]．

點評 本題重點考查了橢圓的參數(shù)方程、橢圓的簡單的幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．