(本小題滿分13分)設函數(shù)f(x)=x3+ax2-a2x+m(a>0).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在x∈[-1,1]內沒有極值點,求a的取值范圍;
(Ⅲ)若對任意的a∈[3,6],不等式f(x)≤1在x∈[-2,2]上恒成立,求m的取值范圍.
(Ⅰ)函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(-∞,-a),(,+∞),
單調遞減區(qū)間為(-a,).(Ⅱ)a>3. (Ⅲ)m≤-87.
【解析】本試題主要是考查了函數(shù)的極值問題和函數(shù)與不等式的綜合運用。
(1)∵f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x-)(x+a),
又a>0,∴當x<-a或x>時f′(x)>0;
當-a<x<時,f′(x)<0得到單調區(qū)間。
(2)由題設可知,方程f′(x)=3x2+2ax-a2=0在[-1,1]上沒有實根
∴,解得a>3.
(3)∵a∈[3,6],∴由(Ⅰ)知∈[1,2],-a≤-3
又x∈[-2,2]
∴f(x)max=max{f(-2),f(2)}
而f(2)-f(-2)=16-4a2<0
求解得到。
解:(Ⅰ)∵f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x-)(x+a),
又a>0,∴當x<-a或x>時f′(x)>0;
當-a<x<時,f′(x)<0.
∴函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(-∞,-a),(,+∞),單調遞減區(qū)間為(-a,).(4分)
(Ⅱ)由題設可知,方程f′(x)=3x2+2ax-a2=0在[-1,1]上沒有實根
∴,解得a>3. (8分)
(Ⅲ)∵a∈[3,6],∴由(Ⅰ)知∈[1,2],-a≤-3
又x∈[-2,2]
∴f(x)max=max{f(-2),f(2)}
而f(2)-f(-2)=16-4a2<0
∴f(x)max=f(-2)=-8+4a+2a2+m (10分)
又∵f(x)≤1在[-2,2]上恒成立
∴f(x)max≤1即-8+4a+2a2+m≤1
即m≤9-4a-2a2,在a∈[3,6]上恒成立
∵9-4a-2a2的最小值為-87
∴m≤-87. (13分)
科目:高中數(shù)學 來源:2015屆江西省高一第二次月考數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分13分)已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期和最大值;
(2)在給出的直角坐標系中,畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象.
(3)設0<x<,且方程有兩個不同的實數(shù)根,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年福建省高三年級八月份月考試卷理科數(shù)學 題型:解答題
(本小題滿分13分)已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求的值;(2)判斷函數(shù)的單調性;
(3)若對任意的,不等式恒成立,求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年福建省高三年級八月份月考試卷理科數(shù)學 題型:解答題
(本小題滿分13分)已知集合, ,.
(1)求(∁; (2)若,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源:河南省09-10學年高二下學期期末數(shù)學試題(理科) 題型:解答題
(本小題滿分13分)如圖,正三棱柱的所有棱長都為2,為的中點。
(Ⅰ)求證:∥平面;
(Ⅱ)求異面直線與所成的角。www.7caiedu.cn
[來源:KS5
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年福建省高三5月月考調理科數(shù)學 題型:解答題
(本小題滿分13分)
已知為銳角,且,函數(shù),數(shù)列{}的首項.
(1) 求函數(shù)的表達式;
(2)在中,若A=2,,BC=2,求的面積
(3) 求數(shù)列的前項和
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