Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=

3

2

a_n+n-3．
（1）求證：數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）令c_n=n+log

3

(a1-1)+log

3

（a₂-1）+…+log

3

（a_n-1），若不等式

1

c1

+

1

c2

+…+

1

cn

≥

log2m

12

對任意n∈N^*都成立，求實數(shù)m的最大值．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導出a₁=4，a_n=S_n-S_n-1=

3

2

a_n-

3

2

an-1+1，由此能證明數(shù)列{a_n-1}是以a₁-1=3為首項，公比為3的等比數(shù)列，從而能求出an=3n+1．
（2）由c_n=n+log

3

(a1-1)+log

3

（a₂-1）+…+log

3

（a_n-1）=n（n+2），從而

1

cn

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），由此利用裂項求和法結合已知條件能求出m的最大值．

解答： （1）證明：當n=1時，S₁=a₁=

3

2

a₁+1-3，解得a₁=4，
當n≥2時，由S_n=

3

2

a_n+n-3，得S_n-1=

3

2

a_n-1+n-4．
 兩式相減，得a_n=S_n-S_n-1=

3

2

a_n-

3

2

an-1+1，
即a_n=3a_n-1-2，則a_n-1=3（a_n-1-1），
故數(shù)列{a_n-1}是以a₁-1=3為首項，公比為3的等比數(shù)列．
∴a_n-1=3ⁿ，
∴an=3n+1．
（2）解：c_n=n+log

3

(a1-1)+log

3

（a₂-1）+…+log

3

（a_n-1）
=n+2+4+…+2n
=n+n（n+1）
=n（n+2），
∴

1

cn

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴不等式

1

c1

+

1

c2

+…+

1

cn

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

，
∵不等式

1

c1

+

1

c2

+…+

1

cn

≥

log2m

12

對任意n∈N^*都成立，
∴

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

≥

log2m

12

，
∴l(xiāng)og₂m≤9-

12n+18

(n+1)(n+2)

＜9，
∴m＜2⁹=512，
∵m∈N^*，∴m的最大值為511．

點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，考查實數(shù)的最大值的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．