Question

已知復數(shù)z=(2+i)m2-

6m

1-i

-2(1-i)．
（Ⅰ）當實數(shù)m取什么值時，復數(shù)z是：①實數(shù)； ②虛數(shù)；③純虛數(shù)；
（Ⅱ）在復平面內(nèi)，若復數(shù)z所對應的點在第二象限，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）首先把復數(shù)進行整理，先進行復數(shù)的除法運算，分子和分母同乘以分母的共軛復數(shù)，把復數(shù)化成代數(shù)形式的標準形式，（1）當這個數(shù)是實數(shù)時，需要虛部等于0，（2）當復數(shù)是一個虛數(shù)時，需要虛部不等于0，（3）當復數(shù)是一個純虛數(shù)時，需要實部等于零而虛部不等于0，
（II）復數(shù)z所對應的點在第二象限時，得到實部和虛部的范圍，解不等式組即可．

解答：解：（Ⅰ）復數(shù)z=（2+i）m²-

6m

1-i

-2（1-i）=2 m2-2-

6m(1+i)

(1+i)(1-i)

+m2i+2i
=2m²-3m-2+（m²-3m+2）i
（1）當這個數(shù)是實數(shù)時，
有m²-3m+2=0，
∴m=2 或1；     
（2）當數(shù)是一個虛數(shù)，
m²-3m+2≠0，
∴m≠1 且 m≠2  
（3）當數(shù)是一個純虛數(shù)
有2m²-3m-2=0，
m²-3m+2≠0，
∴m≠2
（II）在復平面內(nèi)，若復數(shù)z所對應的點在第二象限，
有

2m 2-3m-2＜0 m 2-3m+2＞0

解得：-

1

2

＜m＜1，
∴m的取值范圍：-

1

2

＜m＜1．

點評：本題考查復數(shù)的意義和基本概念，解題的關鍵是整理出復數(shù)的代數(shù)形式的標準形式，針對于復數(shù)的基本概念得到實部和虛部的要滿足的條件．