Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 滿足an= +2n﹣2，n∈N* ， 且S2=6．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）證明： + + +…+ ＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵an= +2n﹣2，n∈N*，且S2=6．

∴a2= +2×2﹣2=5，a1+a2=6，

解得a1=1．

又nan=Sn+2n2﹣2n，

當n≥2時，（n﹣1）an﹣1=Sn﹣1+2（n﹣1）2﹣2（n﹣1），

相減可得：nan﹣（n﹣1）an﹣1=an+4n﹣4，

化為an﹣an﹣1=4，

∴數列{an}是等差數列，首項為1，公差為4．

∴an=1+4（n﹣1）=4n﹣3

（2）證明：Sn= =n（2n﹣1）．

∴n≥3， = ＜ ﹣ ．

∴ + + +…+ ＜1+ + + +…+ = ﹣ ＜ ．

∴ + + +…+ ＜

【解析】（1）利用遞推關系、等差數列的通項公式即可得出；（2）Sn= =n（2n﹣1）．n≥3， = ＜ ﹣ ．利用“裂項求和”即可得出．
【考點精析】通過靈活運用數列的前n項和和數列的通項公式，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式即可以解答此題．