Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)過點(diǎn)(

2

 ， 

3

3

)，且離心率為

6

3

，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的左右焦點(diǎn)，直線l為橢圓的左準(zhǔn)線，
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)M在橢圓上，M到右焦點(diǎn)的距離為

3

-1，求點(diǎn)M到左準(zhǔn)線l的距離．
（Ⅲ）若點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，PQ⊥l，垂足為Q，是否存在點(diǎn)P使得△F₁PQ為等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)過點(diǎn)(

2

 ， 

3

3

)，且離心率為

6

3

，可得

2 a2 + 1 3b2 =1 c a = 6 3 a2=b2+c2

，解得即可．
（II）由（I）可得橢圓的左準(zhǔn)線l為：x=-

3 2

2

．由點(diǎn)M在橢圓上，M到右焦點(diǎn)的距離為

3

-1，可得點(diǎn)M到左焦點(diǎn)的距離，再利用橢圓的第二定義即可得出．
（III）假設(shè)存在點(diǎn)P使得△F₁PQ為等腰三角形，可能|PQ|=|QF₁|或|QF₁|=|PF₁|．設(shè)P（x，y），可得

x2

3

+y2=1．
利用兩點(diǎn)之間的距離的公式可得另一個(gè)關(guān)系式．聯(lián)立解出即可．

解答： 解：（I）由橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)過點(diǎn)(

2

 ， 

3

3

)，且離心率為

6

3

，
∴

2 a2 + 1 3b2 =1 c a = 6 3 a2=b2+c2

，解得a²=3，b²=1，c²=2．
∴橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1．
（II）由（I）可得橢圓的左準(zhǔn)線l為：x=-

3 2

2

．
∵點(diǎn)M在橢圓上，M到右焦點(diǎn)的距離為

3

-1，
∴點(diǎn)M到左焦點(diǎn)的距離=2a-（

3

-1）=

3

+1，
∴點(diǎn)M到左準(zhǔn)線l的距離d滿足

3 +1

d

=e=

6

3

，解得d=

3 2 + 6

2

．
（III）假設(shè)存在點(diǎn)P使得△F₁PQ為等腰三角形，則|PQ|=|QF₁|或|QF₁|=|PF₁|．
設(shè)P（x，y），則

x2

3

+y2=1．
F₁(-

2

，0)，Q(-

3 2

2

，y)．
①若|PQ|=|QF₁|，則|x+

3 2

2

|=

(- 2 + 3 2 2 )2+y2

，又

x2

3

+y2=1．化為4x2+9

2

x+9=0，
解得x=-

3 2

4

，y=±

10

4

．∴P(-

3 2

4

，±

10

4

)．
②若|QF₁|=|PF₁|．則

(- 2 + 3 2 2 )2+y2

=

(x+ 2 )2+y2

，又

x2

3

+y2=1．
解得x=-

2

2

，y=±

30

6

．∴P(-

2

2

，±

30

6

)．
綜上可得：滿足條件的點(diǎn)P有四個(gè)點(diǎn)：分別為.(-

3 2

4

，±

10

4

)，(-

2

2

，±

30

6

)．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．