Question

已知f（x）為奇函數(shù)，且x＞0時(shí)，f（x）=2^x-1-2，
（1）求x＜0時(shí)，f（x）的解析式；
（2）畫出f（x）的圖象；
（3）寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)圖象的作法,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)的奇偶性求當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）的解析式；
（2）先畫當(dāng)x＞0時(shí)的圖象：f（x）=2^x-1-2，此函數(shù)可由指數(shù)函數(shù)y=2x先向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位；
再根據(jù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱畫出當(dāng)x＞0時(shí)的圖象，另外，f（0）=0；
（3）利用函數(shù)的圖象，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：設(shè)x＜0，則-x＞0，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2^x-1-2，
∴f（-x）=2^-x-1-2，
又∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），∴f（x）=-f（-x）=-2^-x-1+2，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-2^-x-1+2，
（2）先畫當(dāng)x＞0時(shí)的圖象：f（x）=2^x-1-2，此函數(shù)可由指數(shù)函數(shù)y=2x先向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位；
再根據(jù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱畫出當(dāng)x＞0時(shí)的圖象，另外，f（0）=0，圖象如下：

（3）由圖象可知，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0）、（0，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及函數(shù)單調(diào)性的判斷，考查函數(shù)的綜合性質(zhì)的應(yīng)用．