Question

已知圓G過點(diǎn)A（2，0），B（5，3），C（3，-1），過點(diǎn)A的直線l₁，l₂，分別交圓G于點(diǎn)M，N（M，N不與A重合），且它們的斜率k₁，k₂滿足k₁+k₂=0．
（Ⅰ）求圓G的方程；
（Ⅱ）求證：直線MN的斜率為定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)圓G的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，把圓經(jīng)過的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入求得待定系數(shù)，從而得到圓G的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l₁的方程為y=k₁（x-2），代入圓的方程可求得M的坐標(biāo)，同理可求的N的坐標(biāo)，利用斜率公式化簡MN的
斜率得到定值．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)圓G的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，因?yàn)閳AG過點(diǎn)A（2，0），B（5，3），C（3，-1），
所以，，解得，所以圓G的方程為x²+y²-8x-2y+12=0．
（Ⅱ）設(shè)直線l₁的方程為y=k₁（x-2），
由   消去y  得 （k₁²+1）x²-2（2k₁²+k₁+4）x+（4k₁²+4k₁+12）=0，
解得，所以．
同理，又k₁+k₂=0，所以，
（定值），故結(jié)論成立．
點(diǎn)評：本題考查用待定系數(shù)法求圓的一般式方程，直線和圓相交的性質(zhì)，求出M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的難點(diǎn)．