Question

已知橢圓C：的離心率為，過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點，當l的斜率為1時，坐標原點D到l的距離為，
(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)C上是否存在點P，使得當l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立？若存在，求出所有的P的坐標與l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)設(shè)F(c，0)，當l的斜率為1時，其方程為x-y-c=0，
O到l的距離為，故，
由，得。
(Ⅱ)C上存在點P，使得當l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立，
由(Ⅰ)知C的方程為2x²+3y²=6，
設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
(ⅰ)當l不垂直于x軸時，設(shè)l的方程為y=k(x-1)，
C上的點P使成立的充要條件是P點的坐標為（x₁+x₂，y₁+y₂），
且2(x₁+x₂)²+3(y₁+y₂)²=6，
整理得，
又A、B在C上，即，
故，
將y=k（x-1）代入，
并化簡得，
于是，，
代入①解得，k²=2，此時，
于是，即，
因此，當，l的方程為；
當時，，l的方程為；
(ⅱ)當l垂直于x軸時，由=（2，0）知，C上不存在點P使成立；
綜上，C上存在點使成立，此時l的方程為。