Question

已知函數(shù)y＝log₂(n∈N*)．

(1)當(dāng)n＝1，2，3，…時(shí)，把已知函數(shù)的圖象和直線y＝1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次記為a₁，a₂，a₃，……，求證a₁＋a₂＋a₃＋…＋a_n＜1；

(2)對(duì)于每一個(gè)n的值，設(shè)A_n、B_n為已知函數(shù)的圖象上與x軸距離為1的兩點(diǎn)，求證：n取任意一個(gè)正整數(shù)時(shí)，以A_nB_n為直徑的圓都與一條定直線相切，并求出這條定直線的方程和切點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

答案：
解析：

解答　　原函數(shù)可化為：y＝x 　　(1)y＝1時(shí)，可求得x＝()n， 　　即an＝()n＝()()n－1， 　　∴{an}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列． 　　a1＋a2＋a3＋…＋an＝＝1－＜1 　　(2)同理可以求An、Bn的橫坐標(biāo)，可得An、Bn的坐標(biāo)分別為(，1)，和(2n，－1)，因此|AnBn|＝＝2n＋，因此AnBn中點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離＝． 　　∴以C為圓心AnBn為直徑的圓必定與定直線y軸相切，這條定直線的方程為x＝0，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為0，可知從點(diǎn)C到y(tǒng)軸作垂線的垂足就是原點(diǎn)即切點(diǎn)，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)．