Question

已知函數(shù)f（x）=ax-1n（1+x²）（a＞0）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，1n（1+x²）＜x；
（Ⅲ）證明：（1+

1

24

）（1+

1

34

）…（1+

1

n4

）＜e（n∈N^*，n≥2，其中無(wú)理數(shù)e=2.71828…）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由f′(x)=a-

2x

1+x2

=

ax2-2x+a

1+x2

，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（Ⅱ）令g（x）=x-ln（1+x²），得g′(x)=1-

2x

1+x2

=

(x-1)2

1+x2

≥0，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明當(dāng)x＞0時(shí)，1n（1+x²）＜x．
（Ⅲ）ln（1+x²）＜x，利用累加法能證明（1+

1

24

）（1+

1

34

）…（1+

1

n4

）＜e（n∈N^*，n≥2）．

解答： （Ⅰ）解：∵f′(x)=a-

2x

1+x2

=

ax2-2x+a

1+x2

，
∵a＞0，當(dāng)△＞0，即0＜a＜1時(shí)，
方程ax²-2x+a=0有兩個(gè)不等正根

1- 1-a2

a

，

1+ 1-a2

a

，
∴由f′（x）＞0，得x＜

1- 1-a2

a

，或x＞

1+ 1-a2

a

，
由f′（x）＜0，得

1- 1-a2

a

＜x＜

1+ 1-a2

a

，
當(dāng)△≤0，即a≥1時(shí)，ax²-2x+a≥0恒成立，
綜上，0＜a＜1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，

1- 1-a2

a

），（

1+ 1-a2

a

，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間是（

1- 1-a2

a

，

1+ 1-a2

a

）．
a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)遞地函數(shù)，不存在單調(diào)遞減區(qū)間．
（Ⅱ）證明：令g（x）=x-ln（1+x²），得g′(x)=1-

2x

1+x2

=

(x-1)2

1+x2

≥0，
x=1時(shí)，g′（x）=0，
∴g（x）在（0，1）及（1，+∞）均單調(diào)遞增，
考慮到g（x）在x=1處有意義，g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
故g（x）＞g（0）=0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，1n（1+x²）＜x．
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ），ln（1+x²）＜x，
對(duì)x=

1

22

、

1

32

、…、

1

n2

代入相加，得：
ln(1+

1

24

)+ln(1+

1

34

)+…+ln(1+x2)＜

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)×n

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)
=1-

1

n

＜1，
∴（1+

1

24

）（1+

1

34

）…（1+

1

n4

）＜e（n∈N^*，n≥2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的討論，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意累加法、構(gòu)造法、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．