Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x（e^x-1）+ax²
（Ⅰ）當(dāng)a=-

1

2

時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若當(dāng)x≥0時，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=-

1

2

時，f(x)=x(ex-1)-

1

2

x2，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）f（x）=x（e^x-1）+ax²=x（e^x-1+ax），令g（x）=（e^x-1+ax），x∈[0，+∞），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=-

1

2

時，f(x)=x(ex-1)-

1

2

x2，
f'（x）=（e^x-1）+xe^x-x=（x+1）（e^x-1）…（2分）
令f'（x）＞0，得x＜-1或x＞0；
令f'（x）＜0，得-1＜x＜0
所以f（x）的單增區(qū)間為（-∞，-1），（0，+∞）；單減區(qū)間為（-1，0）．…（5分）
（2）f（x）=x（e^x-1）+ax²=x（e^x-1+ax），
令g（x）=（e^x-1+ax），x∈[0，+∞），
g'（x）=e^x+a，g（0）=0…（7分）
當(dāng)a≥-1時，g'（x）=e^x+a＞0，g（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
而g（0）=0，從而當(dāng)x≥0時，f（x）≥0恒成立．…（9分）
當(dāng)a＜-1時，令g'（x）=e^x+a=0，得x=ln（-a）．
當(dāng)x∈（0，ln（-a））時，g'（x）＜0，
g（x）在（0，ln（-a））上是減函數(shù)，
而g（0）=0，從而當(dāng)x∈（0，ln（-a））時，g（x）＜0，即f（x）＜0
綜上，a的取值范圍是[-1，+∞）…（12分）

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．