Question

（2012•保定一模）已知函數(shù)f（x）=

ln(x+1)

(x+1)2

-

a

x+1

-2x，(a＞0)．
（1）若函數(shù)f（x）在x=0處取極值，求a值；
（2）如圖，設(shè)直線x=-1，y=-2x，將坐標平面分成I、II、III、IV四個區(qū)域（不含邊界），若函數(shù)y=f（x）的圖象恰好位于其中一個區(qū)域內(nèi)，試判斷其所在的區(qū)域，并求其對應的a的取值范圍
（3）試比較2012²⁰¹¹與2011²⁰¹²的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=

ln(x+1)

(x+1)2

-

a

x+1

-2x，得f′(x)=

(x+1)-2(x+1)ln(x+1)

(x+1)4

+

a

(x+1)2

-2，由f（x）在x=0處取極值，能求出a．
（2）由函數(shù)的定義域為（-1，+∞），且當x=0時，f（0）=-a＜0，又直線y=-2x恰好過原點，所以函數(shù)y=f（x）的圖象應位于區(qū)域Ⅲ內(nèi)，于是f（x）＜-2x，由此能求出a的取值范圍．
（3）由（2）知，函數(shù)m（x）=

ln(x+1)

x+1

在x∈（e-1，+∞）時單調(diào)遞減，故函數(shù)p（x）=

lnx

x

在x∈（e，+∞）時，單調(diào)遞減，故

ln(x+1)

x+1

＜

lnx

x

，由此能證明2012²⁰¹¹＜2011²⁰¹²．

解答：解：（1）∵f(x)=

ln(x+1)

(x+1)2

-

a

x+1

-2x，
∴f′(x)=

(x+1)-2(x+1)ln(x+1)

(x+1)4

+

a

(x+1)2

-2，
∵f（x）在x=0處取極值，
∴f′（x）=1+a-2=0，
∴a=1，經(jīng)檢驗a=1符合題意，
故a=1．
（2）∵函數(shù)的定義域為（-1，+∞），且當x=0時，f（0）=-a＜0，
又直線y=-2x恰好過原點，
所以函數(shù)y=f（x）的圖象應位于區(qū)域Ⅲ內(nèi)，
于是f（x）＜-2x，
即

ln(x+1)

(x+1)2

＜

a

x+1

，
∵x+1＞0，∴a＞

ln(x+1)

x+1

，
令m（x）=

ln(x+1)

x+1

，∴m′(x)=

1-ln(x+1)

(x+1) 2

，
令m′（x）=0，得x=e-1，
∵x＞-1，∴x∈（-1，e-1）時，m′（x）＞0，m（x）單調(diào)遞增，
x∈（e-1，+∞）時，m′（x）＜0，m（x）單調(diào)遞減．
∴mmax(x)=m(e-1)=

1

e

，
∴a的取值范圍是：a＞

1

e

．
（3）由（2）知，函數(shù)m（x）=

ln(x+1)

x+1

在x∈（e-1，+∞）時單調(diào)遞減，
∴函數(shù)p（x）=

lnx

x

在x∈（e，+∞）時，單調(diào)遞減，
∴

ln(x+1)

x+1

＜

lnx

x

，∴xln（x+1）＜（x+1）lnx，
∴l(xiāng)n（x+1）^x＜lnx^（x+1），即（x+1）^x＜x^（x+1），
∴令x=2011，則2012²⁰¹¹＜2011²⁰¹²．

點評：本題考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應用，綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．