Question

【題目】已知函數(shù)，x∈[－1,1]，函數(shù),a∈R的最小值為h（a）.

（1）求h（a）的解析式；

（2）是否存在實數(shù)m，n同時滿足下列兩個條件：①m>n>3；②當h（a）的定義域為[n，m]時，值域為[n2，m2]？若存在，求出m，n的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：(1)為關(guān)于的二次函數(shù),可用換元法,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在特定區(qū)間上的最值問題,定區(qū)間動軸;

(2)由(1)可知時,為一次函數(shù)且為減函數(shù),求值域,找關(guān)系即可.

試題解析：（1）由,
知,

令,設(shè),則,則的對稱軸為,故有:

當時,的最小值,

②當時,的最小值,

③當時, 的最小值,

綜上所述, h（a）＝

（2）當a≥3時，h（a）＝－6a＋12，故m>n>3時，h（a）在[n，m]上為減函數(shù)，

所以h（a）在[n，m]上的值域為[h（m），h（n）].

由題意，則有，兩式相減得6n－6m＝n2－m2，又m≠n，所以m＋n＝6，這與m>n>3矛盾，故不存在滿足題中條件的m，n的值.