Question

設(shè)橢圓（a＞b＞0）的焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），直線l：x=a²交x軸于點(diǎn)A，且．
（Ⅰ）試求橢圓的方程；
（2）過F₁、F₂分別作互相垂直的兩直線與橢圓分別交于D、E、M、N四點(diǎn)（如圖所示），若四邊形DMEN的面積為，求DE的直線方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中橢圓（a＞b＞0）的焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），x=a²交x軸于點(diǎn)A，且，可得F₂為AF₁的中點(diǎn)，進(jìn)而求出a²，b²的值后可得橢圓的方程．
（II）分析討論直線DE與x軸垂直和MN與x軸垂直及直線DE，MN均與x軸不垂直時(shí)，滿足四邊形DMEN的面積為的條件，進(jìn)而得到DE的直線方程．
解答：解：（Ⅰ）∵橢圓（a＞b＞0）的焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），
∴||=2c=2，
∴c=1
∵直線l：x=a²交x軸于點(diǎn)A，
∴A（a²，0）----------（1分）
∵為AF₁的中點(diǎn)------------（2分）
∴a²=3，b²=2------------（3分）
即：橢圓方程為------------（4分）
（2）當(dāng)直線DE與x軸垂直時(shí)，|DE|=2=，此時(shí)|MN|=2a=2，
四邊形DMEN的面積S==4不符合題意故舍掉；------------（5分）
同理當(dāng)MN與x軸垂直時(shí)，也有四邊形DMEN的面積積S==4不符合題意故舍掉；------------（6分）
當(dāng)直線DE，MN均與x軸不垂直時(shí)，
設(shè)DE：y=k（x+1），
代入消去y得：（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0------------（7分）
設(shè)D（x₁，y₁）、E（x₂，y₂），則------------（8分）
所以|x₁-x₂|==，------------（9分）
所以|DE|=•|x₁-x₂|=，------------（10分）
同理|MN|==------------（12分）
所以四邊形的面積S==••=
由S==2或k²=⇒k=±，
所以直線l_DE：=0或l_DE：=0或l_DE：=0或l_DE：=0-------（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓錐曲線的綜合問題，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中根據(jù)已知條件求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解答本題的關(guān)鍵．