在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是邊長為的正三角形,點(diǎn)A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中點(diǎn)。

    (Ⅰ)求證:A1A⊥BC;

    (Ⅱ)當(dāng)側(cè)棱AA1和底面成45º角時,求二面角A1-AC-B的大小

    (Ⅲ)若D為側(cè)棱A1A上一點(diǎn),當(dāng)為何值時,BD⊥A1C1。

解法一:

     

(Ⅰ)連結(jié)AO,∵A1O面ABC,AO⊥BC,

        ∴A1A⊥BC。     

(Ⅱ)由(1)得,∠A1AO=45º,

由底面是邊長為的正三角形,可知AO=3,

∴A1O=3,AA1=,

過O做OE⊥AC于E,連接A1E,則∠A1EO為二面角A1-AC-B的平面角,

,∴

即二面角A1-AC-B的大小為arctan2。           

(Ⅲ)過D作DF∥A1O,交AO于F,則DF⊥平面ABC。

BF為BD在面ABC內(nèi)的射影,

又∵A1C1∥AC,∴要使BD⊥A1C1,只要BD⊥AC,即證BF⊥AC,

∴F為△ABC的中心,∴

解法二:以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn),OC為軸,OA為軸,OA1軸建立空間直角坐標(biāo)系。

 

(Ⅰ)由題意知∠A1AO=45º,A1O=3,

∴O(0,0,0),C(,0,0),A(0,3,0),A1(0,0,3),B(,0,0)。

,

∴AA1⊥BC。     

(Ⅱ)設(shè)面AA1的法向量為,

,則,,∴。    

而△ABC的法向量為               

。

又顯然所求二面角的平面角為銳角,

∴所求二面角的大小為。            

(Ⅲ)A1C1∥AC,故只需BD⊥AC即可。

設(shè)AD=a,則,

,則,

要使BD⊥AC,須,

,而,∴

。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知三棱柱ABC-A1B1C1的三視圖如圖所示,其中主視圖AA1B1B和左視圖B1BCC1均為矩形,在俯視圖△A1B1C1中,A1C1=3,A1B1=5,cos∠A1=
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(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,求證:BC⊥AC1;
(2)在三棱柱ABC-A1B1C1中,若D是底邊AB的中點(diǎn),求證:AC1∥平面CDB1
(3)若三棱柱的高為5,求三視圖中左視圖的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖:在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中,AB=
AA13
=a,E,F(xiàn)分別是BB1,CC1上的點(diǎn)且BE=a,CF=2a.
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(Ⅱ)求三棱錐A1-AEF的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=
5
,BC=4,在A1在底面ABC的投影是線段BC的中點(diǎn)O.
(1)求點(diǎn)C到平面A1ABB1的距離;
(2)求二面角A-BC1-B1的余弦值;
(3)若M,N分別為直線AA1,B1C上動點(diǎn),求MN的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•江西)在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=
5
,BC=4,在A1在底面ABC的投影是線段BC的中點(diǎn)O.
(1)證明在側(cè)棱AA1上存在一點(diǎn)E,使得OE⊥平面BB1C1C,并求出AE的長;
(2)求平面A1B1C與平面BB1C1C夾角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•北京)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是邊長為4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(Ⅰ)求證:AA1⊥平面ABC;
(Ⅱ)求證二面角A1-BC1-B1的余弦值;
(Ⅲ)證明:在線段BC1上存在點(diǎn)D,使得AD⊥A1B,并求
BDBC1
的值.

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